I) LE REPERE DANS L’ESPACE ET LA BASE DANS \(V_3\)
1) La projection sur un plan parallèlement à une droite
Considérons un plan \((P)\) dans l’espace \((\mathcal{E})\) et \((\Delta)\) une droite qui coupe \((P)\) en \(O\). Soit \(M\) un point dans l’espace ; on sait que par \(M\) passe une seule droite parallèle à \((\Delta)\), donc elle coupe le plan \((P)\) en un seul point \(M’\). Le point \(M’\) s’appelle la projection du point M sur le plan (P) parallèlement à la droite \((\Delta)\).
On définit ainsi l’application :
\(p: (\mathcal{E}) \to (P)\)
\(M \mapsto M’ = p(M)\)
- Si on remplace la droite \((\Delta)\) par une droite qui lui est parallèle, la projection \(p\) ne varie pas. On dit que \(p\) est la projection sur le plan \((P)\) dans la direction de \((\Delta)\).
- L’application \(p\) est surjective, mais pas injective.
- L’image de la droite \((\Delta)\) par l’application \(p\) est le singleton \(\{O\}\).
2) La projection sur une droite parallèlement à un plan
Considérons une droite \((D)\) dans l’espace \((\mathcal{E})\) et \((P)\) un plan qui coupe \((D)\) en \(O\). Pour tout point \(M\) de l’espace, il existe un unique plan parallèle à \((P)\) passant par \(M\). Ce plan coupe la droite \((D)\) en un point unique \(M’\). Le point \(M’\) est la projection de M sur la droite (D) parallèlement au plan (P).
II) LES VECTEURS DE L’ESPACE
Soit \(O\) un point de l’espace. Pour tout vecteur \(\vec{u}\), il existe un unique point \(M\) tel que \(\vec{OM} = \vec{u}\).
L’ensemble de tous les vecteurs de l’espace est noté \(V_3\).
Soit \(\mathcal{B} = (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) une base de \(V_3\). Pour tout vecteur \(\vec{u}\), il existe un unique triplet de réels \((x, y, z)\) tel que :
Les réels \(x, y, z\) sont les coordonnées de \(\vec{u}\) dans la base \(\mathcal{B}\).
III) ÉTUDE ANALYTIQUE DU PLAN
1) Vecteur Normal et Équation Cartésienne
Un vecteur non nul \(\vec{n}\) est dit normal au plan \((P)\) s’il est orthogonal à tout vecteur directeur de \((P)\).
Tout plan \((P)\) de l’espace admet une équation de la forme :
Où \((a, b, c) \neq (0, 0, 0)\). Le vecteur \(\vec{n}(a, b, c)\) est un vecteur normal à \((P)\).
Déterminer l’équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A(1, 2, -1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(2, -1, 3)\).
\(M(x,y,z) \in (P) \iff \vec{AM} \cdot \vec{n} = 0\)
\(\iff 2(x-1) – 1(y-2) + 3(z+1) = 0\)
\(\iff 2x – 2 – y + 2 + 3z + 3 = 0 \iff 2x – y + 3z + 3 = 0\).
IV) ÉTUDE ANALYTIQUE DE LA DROITE
1) Représentation Paramétrique
La droite \((D)\) passant par \(A(x_A, y_A, z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(a, b, c)\) est l’ensemble des points \(M(x, y, z)\) tels que :
2) Équation de la droite comme intersection de deux plans
Une droite peut être définie comme l’ensemble des points vérifiant simultanément deux équations de plans non parallèles :
Pour passer du système de deux plans à une représentation paramétrique, une technique consiste à prendre une des coordonnées comme paramètre (par exemple \(z = t\)) puis à exprimer les deux autres coordonnées en fonction de \(t\).
V) POSITIONS RELATIVES ET INTERSECTIONS
1) Intersection de trois plans
L’étude de l’intersection de trois plans \((P), (Q)\) et \((R)\) revient à résoudre un système de trois équations à trois inconnues.
Cas possibles :
- L’intersection est un point unique.
- L’intersection est une droite (si les plans sont sécants selon cette droite).
- L’intersection est vide (si deux plans sont parallèles, ou si la droite d’intersection de deux plans est parallèle au troisième).
- L’intersection est un plan entier (si les trois plans sont confondus).
Soient les plans \((P) : x – y – 3z – 2 = 0\) et \((Q) : 2x + y + z – 1 = 0\). Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection \((D)\).
Posons \(z = t\). Le système devient :
\(\begin{cases} x – y = 3t + 2 \\ 2x + y = -t + 1 \end{cases}\)
En additionnant les deux équations : \(3x = 2t + 3 \implies x = 1 + \frac{2}{3}t\).
En remplaçant \(x\) dans la première : \(y = x – 3t – 2 = 1 + \frac{2}{3}t – 3t – 2 = -1 – \frac{7}{3}t\).
Représentation : \(\begin{cases} x = 1 + \frac{2}{3}t \\ y = -1 – \frac{7}{3}t \\ z = t \end{cases}\)