Dénombrer, c’est compter des objets.
I) ENSEMBLE FINI : INTRODUCTION
Un ensemble dont on peut dénombrer les éléments est dit un ensemble fini. Le nombre d’éléments distincts d’un ensemble \(E\) est appelé le cardinal de \(E\), on le note : \(Card(E) = n\).
Dans le cas contraire, on dit qu’il est infini.
- \(A = \{1, 2\}\), \(B = \{a, b, c\}\) : \(Card(A) = 2\) et \(Card(B) = 3\).
- \(A = \{E(\frac{11}{n}) ; n \in \mathbb{N}^*\}\). \(A\) est un ensemble fini : \(A = \{0, 1, 2, 3, 5, 11\}\) et \(Card(A) = 6\).
- L’ensemble vide, noté \(\emptyset\), est un ensemble de cardinal 0 : \(Card(\emptyset) = 0\).
- Si \(E\) et \(F\) sont deux ensembles finis disjoints (\(E \cap F = \emptyset\)), alors : \[ Card(E \cup F) = Card(E) + Card(F) \]
- Si \(E \subseteq F\), alors \(Card(F \setminus E) = Card(F) – Card(E)\).
Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles finis. On a :
II) PRINCIPE FONDAMENTAL DU DÉNOMBREMENT
On considère une expérience composée de \(k\) étapes. Si la 1ère étape peut se produire de \(n_1\) manières, la 2ème étape de \(n_2\) manières, …, et la \(k\)-ième étape de \(n_k\) manières, alors le nombre total de manières dont l’expérience peut se produire est :
Combien de nombres de 3 chiffres peut-on former avec les chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?
Solution :
– Le 1er chiffre (centaines) : 5 possibilités (car le 0 est exclu).
– Le 2ème chiffre (dizaines) : 6 possibilités.
– Le 3ème chiffre (unités) : 6 possibilités.
Total : \(5 \times 6 \times 6 = 180\) nombres.
III) ARRANGEMENTS ET PERMUTATIONS
1) Arrangements avec répétition (p-uplets)
Soit \(E\) un ensemble fini de \(n\) éléments. Un p-uplet d’éléments de \(E\) est une suite ordonnée de \(p\) éléments de \(E\) (les éléments pouvant se répéter). Le nombre de p-uplets est :
2) Arrangements sans répétition
Soit \(E\) un ensemble fini de \(n\) éléments. Un arrangement de p éléments parmi \(n\) (\(p \le n\)) est une suite ordonnée de \(p\) éléments distincts de \(E\). Le nombre d’arrangements est noté \(A_n^p\) :
Dans une course de 8 chevaux, combien y a-t-il de tiercés possibles dans l’ordre ?
Il s’agit d’un arrangement de 3 parmi 8 : \(A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336\).
3) Permutations
Une permutation de \(n\) éléments est un arrangement de \(n\) éléments parmi \(n\). C’est une façon d’ordonner tous les éléments de l’ensemble. Le nombre de permutations est noté \(n!\) (factorielle n) :
Par convention : \(0! = 1\).
IV) LES COMBINAISONS
Soit \(E\) un ensemble de \(n\) éléments. Une combinaison de p éléments parmi \(n\) (\(p \le n\)) est un sous-ensemble (une partie) de \(E\) contenant \(p\) éléments. Ici, l’ordre n’importe pas. Le nombre de combinaisons est noté \(C_n^p\) (ou \(\binom{n}{p}\)) :
- \(C_n^0 = 1\) ; \(C_n^1 = n\) ; \(C_n^n = 1\).
- Symétrie : \(C_n^p = C_n^{n-p}\).
- Relation de Pascal : \(C_{n-1}^p + C_{n-1}^{p-1} = C_n^p\).
Un groupe est composé de 5 hommes et 4 femmes. On veut former un comité de 3 personnes.
- Combien de comités différents peut-on former ?
- Combien de comités contiennent exactement 2 hommes ?
- Combien de comités contiennent au moins une femme ?
1. \(C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84\).
2. 2 hommes parmi 5 ET 1 femme parmi 4 : \(C_5^2 \times C_4^1 = 10 \times 4 = 40\).
3. Total – (0 femme) = \(C_9^3 – C_5^3 = 84 – 10 = 74\).
V) FORMULE DU BINÔME DE NEWTON
Pour tous réels \(a\) et \(b\) et tout entier \(n \ge 1\) :
Ce qui donne en développant :
\((a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n b^n\)
Il permet de trouver les coefficients \(C_n^k\) facilement :
| n=0 | 1 | ||||
| n=1 | 1 | 1 | |||
| n=2 | 1 | 2 | 1 | ||
| n=3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |
| n=4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
Exercice 1 : Résoudre dans \(\mathbb{N}\) l’équation : \(C_n^2 = 45\).
Solution : \(\frac{n(n-1)}{2} = 45 \iff n^2 – n – 90 = 0\). La racine positive est \(n = 10\).
Exercice 2 : Développer \((x+2)^4\).
Solution : \((x+2)^4 = 1 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3(2) + 6 \cdot x^2(2^2) + 4 \cdot x(2^3) + 1 \cdot (2^4)\)
\(= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\).