I) ORIENTATION DE L’ESPACE ET TRIÈDRE
1) Trièdre
\([OI)\), \([OJ)\) et \([OK)\) trois demi-droites non coplanaires de l’espace constituent dans cet ordre un trièdre. On le note \((OI, OJ, OK)\). Chaque demi-droite est appelée côte du trièdre.
2) Bonhomme d’Ampère
On considère une personne virtuelle (le Bonhomme d’Ampère) telle que :
- Ses pieds se trouvent en \(O\), debout dans le sens de \([OK)\).
- Il regarde le côté \([OI)\).
- On s’intéresse à la position de sa main gauche par rapport au côté \([OJ)\).
- Le trièdre \((OI, OJ, OK)\) est dit direct si le côté \([OJ)\) se trouve à la gauche du Bonhomme d’Ampère.
- Dans le cas contraire, il est dit indirect.
3) Base et Repère Orientés
- Une base \(\mathcal{B} = (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) est dite directe si le trièdre associé \((OI, OJ, OK)\) est direct (avec \(\vec{i} = \vec{OI}\), \(\vec{j} = \vec{OJ}\), \(\vec{k} = \vec{OK}\)).
- Un repère \(\mathcal{R} = (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) est dit direct si sa base est directe.
Pour la suite du cours, l’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).
II) DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS DU PRODUIT VECTORIEL
1) Définition
Le produit vectoriel de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le vecteur, noté \(\vec{u} \wedge \vec{v}\), défini par :
- Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires, alors \(\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}\).
- Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires, alors \(\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}\) est le vecteur tel que :
- \(\vec{w}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).
- La base \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) est directe.
- Sa norme est : \(||\vec{u} \wedge \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \sin(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})\).
2) Propriétés fondamentales
Pour tous vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) et tout réel \(\alpha\) :
- Antisymétrie : \(\vec{v} \wedge \vec{u} = -(\vec{u} \wedge \vec{v})\).
- Bilinéarité :
- \(\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}\).
- \((\alpha\vec{u}) \wedge \vec{v} = \alpha(\vec{u} \wedge \vec{v}) = \vec{u} \wedge (\alpha\vec{v})\).
- Condition de colinéarité : \(\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
III) EXPRESSION ANALYTIQUE
Soient \(\vec{u}(x, y, z)\) et \(\vec{v}(x’, y’, z’)\) dans une base orthonormée directe. Le vecteur \(\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}\) a pour coordonnées :
Soit : \(\vec{u} \wedge \vec{v} (yz’ – zy’ \ ; \ zx’ – xz’ \ ; \ xy’ – yx’)\).
Soient \(\vec{u}(1, 2, -1)\) et \(\vec{v}(2, -1, 1)\). Calculer \(\vec{u} \wedge \vec{v}\).
Solution :
\(x_w = (2)(1) – (-1)(-1) = 2 – 1 = 1\)
\(y_w = -[(1)(1) – (-1)(2)] = -(1 + 2) = -3\)
\(z_w = (1)(-1) – (2)(2) = -1 – 4 = -5\)
D’où : \(\vec{u} \wedge \vec{v} (1, -3, -5)\).
IV) APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
1) Aire d’un triangle et d’un parallélogramme
- L’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est : \(S = ||\vec{u} \wedge \vec{v}||\).
- L’aire du triangle \(ABC\) est : \(S_{ABC} = \frac{1}{2} ||\vec{AB} \wedge \vec{AC}||\).
2) Distance d’un point à une droite
La distance du point \(M\) à la droite \(D(A, \vec{u})\) est donnée par la formule :
Calculer la distance du point \(M(1, 3, 0)\) à la droite \((D)\) passant par \(A(0, 3, -1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(2, -1, 1)\).
1. \(\vec{AM} (1-0, 3-3, 0-(-1)) = \vec{AM}(1, 0, 1)\).
2. \(\vec{AM} \wedge \vec{u} = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{i} – \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \vec{k} = 1\vec{i} + 1\vec{j} – 1\vec{k}\).
3. Norme \(||\vec{AM} \wedge \vec{u}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}\).
4. Norme \(||\vec{u}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}\).
5. Distance \(d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).