Objectif : Démonstrations par double inclusion ou propriétés.

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois parties d’un ensemble \(E\). Simplifier ou démontrer les égalités suivantes :

1. Montrer que : \((A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)\).
2. Montrer que : \(A \cap (B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C)\).
3. Simplifier l’ensemble : \(X = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B)\).

Objectif : Résoudre des équations dont l’inconnue est un ensemble.

Soient \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\). Résoudre dans \(\mathcal{P}(E)\) l’inconnue \(X\) :

1. \(A \cup X = B\) (Discuter selon \(A\) et \(B\)).
2. \(\begin{cases} A \cap X = B \\ A \cup X = C \end{cases}\) où \(B \subset A \subset C\).

Objectif : Analyser une fonction numérique.

Soit l’application \(f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = \frac{3x+2}{x-1}\).

1. Montrer que \(f\) est injective.
2. \(f\) est-elle surjective ? Déterminer l’image de \(f\), notée \(\text{Im}(f)\).
3. Déterminer l’application bijective \(g : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{3\}\) restriction de \(f\), et sa réciproque \(g^{-1}\).

Objectif : Raisonner sur des ensembles quelconques.

Soit \(f : E \to F\) une application. Soient \(A, B \subset E\).

1. Montrer que \(f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)\).
2. Montrer que \(f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)\).
3. Montrer que l’égalité \(f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)\) est vraie pour tout \(A, B\) si et seulement si \(f\) est injective.

Objectif : Liens entre \(f, g\) et \(g \circ f\).

Soient \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) deux applications.

1. Montrer que si \(g \circ f\) est injective, alors \(f\) est injective.
2. Montrer que si \(g \circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective.
3. Si \(f\) est surjective et \(g \circ f\) injective, que peut-on dire de \(g\) ?

Objectif : Calculer des ensembles images.

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^2 – 2x\).

1. Déterminer \(f([-1, 3])\).
2. Déterminer \(f^{-1}(]-\infty, 0])\).
3. Déterminer \(f^{-1}(\{-1\})\).

Objectif : Utiliser l’outil \(\mathbb{1}_A\).

Pour tout \(A \subset E\), on définit \(\mathbb{1}_A(x) = 1\) si \(x \in A\) et \(0\) sinon.

Montrer les propriétés suivantes :

• \(\mathbb{1}_{A \cap B} = \mathbb{1}_A \cdot \mathbb{1}_B\)
• \(\mathbb{1}_{\bar{A}} = 1 – \mathbb{1}_A\)
• \(\mathbb{1}_{A \Delta B} = (\mathbb{1}_A – \mathbb{1}_B)^2 = \mathbb{1}_A + \mathbb{1}_B – 2\mathbb{1}_A\mathbb{1}_B\)

Objectif : Étudier une involution.

Soit \(E = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). On considère \(f : E \to E\) définie par \(f(x) = \frac{x+1}{x-1}\).

1. Montrer que \(f\) est bien définie de \(E\) vers \(E\).
2. Calculer \(f \circ f(x)\).
3. En déduire que \(f\) est une bijection et déterminer \(f^{-1}\).

Objectif : Injectivité dans \(\mathbb{R}^2\).

Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) définie par \(f(x, y) = (x+y, x-y)\).

1. Montrer que \(f\) est une bijection.
2. Déterminer l’expression de sa réciproque \(f^{-1}(X, Y)\).

Objectif : Problème de dénombrement ensembliste.

Soit \(E\) un ensemble fini de cardinal \(n\).

1. Quel est le nombre de parties de \(E\) ?
2. Soit \(A \subset E\) fixé avec \(Card(A) = p\). Combien y a-t-il de parties \(X\) de \(E\) telles que \(A \subset X\) ?
3. Combien y a-t-il de couples \((X, Y) \in \mathcal{P}(E)^2\) tels que \(X \subset Y\) ?