Objectif : Identifier les contraintes (dénominateur nul, racine négative).

Déterminer l’ensemble de définition \(D_f\) pour chacune des fonctions suivantes :

1. \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2 – 1}}{x – 2}\)
2. \(g(x) = \frac{1}{\sqrt{|x| – 1}}\)
3. \(h(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\)
4. \(k(x) = \frac{1}{\cos x – \sin x}\)

Objectif : Étudier la parité d’une fonction.

Étudier la parité des fonctions suivantes :

• \(f(x) = \frac{x^3}{|x| – 2}\)
• \(g(x) = \sqrt{x+1} + \sqrt{1-x}\)
• \(h(x) = \cos x + \sin^2 x\)
• \(k(x) = \frac{x}{1+x^2}\)

Objectif : Montrer qu’une fonction est bornée.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \frac{x}{1+x^2}\).

1. Montrer que \(f\) est impaire.
2. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}^+\), \(f(x) \le \frac{1}{2}\).
3. En déduire que \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\).

Objectif : Calculer \(T(x,y)\) et étudier son signe.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = x + \frac{1}{x}\).

1. Montrer que pour tous réels distincts \(a\) et \(b\) non nuls : \[ T(a,b) = \frac{ab-1}{ab} \]
2. Étudier les variations de \(f\) sur \(]0, 1]\) et sur \([1, +\infty[\).
3. En déduire les variations de \(f\) sur \(]-\infty, -1]\) et sur \([-1, 0[\) (utiliser la parité).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\).

Objectif : Déterminer un maximum ou un minimum.

Soit \(g(x) = \sqrt{x^2 + 1} – |x|\).

1. Montrer que \(g\) est paire.
2. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + |x|}\).
3. Montrer que \(g\) admet un maximum en 0.
4. Montrer que \(g\) est minorée par 0 mais n’atteint pas 0.

Objectif : Étudier la monotonie de \(g \circ f\).

Soient \(f(x) = \sqrt{x}\) et \(g(x) = 1 – x^2\).

1. Déterminer les ensembles de définition de \(f \circ g\) et \(g \circ f\).
2. Étudier les variations de \(f \circ g\) sur \([0, 1]\).
3. Étudier les variations de \(g \circ f\) sur \([0, +\infty[\).

Objectif : Manipuler la fonction partie entière.

Soit \(f(x) = x – E(x)\).

1. Montrer que \(f\) est périodique de période 1.
2. Représenter graphiquement \(f\) sur \([-2, 2]\).
3. Résoudre l’équation \(2E(x) – x = 0\).

Objectif : Montrer qu’une courbe admet un centre de symétrie.

Soit \(f(x) = \frac{x^2 – 4x + 3}{x – 2}\).

1. Déterminer \(D_f\).
2. Montrer que le point \(\Omega(2, 0)\) est un centre de symétrie de la courbe \(C_f\).
   (Rappel : Vérifier que \(f(2a-x) + f(x) = 2b\)).

Objectif : Démontrer l’injectivité.

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^3 + x + 1\).

1. Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2. En déduire que \(f\) est injective.
3. Résoudre l’équation \(f(x) = 1\).

Objectif : Mélanger les concepts.

On considère la fonction \(f(x) = \frac{|x|}{1+|x|}\).

1. Étudier la parité de \(f\).
2. Montrer que \(f\) est bornée par 0 et 1.
3. Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}^+\).
4. En déduire les variations sur \(\mathbb{R}\).
5. Tracer l’allure de la courbe \(C_f\).