Objectif : Utiliser la relation vectorielle fondamentale.

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts.

1. Construire le barycentre \(G\) des points pondérés \((A, 2)\) et \((B, 1)\).
   (Indication : Exprimer \(\vec{AG}\) en fonction de \(\vec{AB}\)).
2. Construire le barycentre \(H\) des points pondérés \((A, 1)\) et \((B, -3)\).
3. Soit \(K\) le point tel que \(\vec{AK} = \frac{3}{5} \vec{AB}\).
   Trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(K\) soit le barycentre de \((A, \alpha)\) et \((B, \beta)\).

Objectif : Calcul analytique.

Dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points \(A(2, 3)\), \(B(-1, 4)\) et \(C(0, -2)\).

1. Déterminer les coordonnées du point \(G\) barycentre de \(\{(A, 2) ; (B, 3)\}\).
2. Déterminer les coordonnées du point \(H\) barycentre de \(\{(A, 1) ; (B, -1) ; (C, 2)\}\).
3. Le point \(O\) est-il le barycentre du système \(\{(A, 4) ; (B, 8) ; (C, 10)\}\) ? Justifier.

Objectif : Simplifier la construction avec des barycentres partiels.

Soit \(ABC\) un triangle. On cherche à construire \(G = \text{Bar}\{(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 2)\}\).

1. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Montrer que \(I\) est le barycentre de \((A, 1)\) et \((B, 1)\).
2. En utilisant l’associativité, montrer que \(G\) est le barycentre de \((I, 2)\) et \((C, 2)\).
3. Que peut-on dire de la position de \(G\) par rapport au segment \([IC]\) ? Construire \(G\).

Objectif : Simplifier des sommes vectorielles pour trouver des lieux géométriques.

Soient \(A\) et \(B\) deux points tels que \(AB = 4\). On note \(G = \text{Bar}\{(A, 1) ; (B, 3)\}\).

1. Pour tout point \(M\) du plan, simplifier la somme \(\vec{u} = \vec{MA} + 3\vec{MB}\) en fonction de \(\vec{MG}\).
2. Déterminer et construire l’ensemble \((\mathcal{E}_1)\) des points \(M\) tels que : \[ || \vec{MA} + 3\vec{MB} || = 12 \]
3. Déterminer l’ensemble \((\mathcal{E}_2)\) des points \(M\) tels que : \[ || \vec{MA} + 3\vec{MB} || = || 4\vec{MA} || \]

Objectif : Utiliser le barycentre pour prouver que 3 points sont alignés.

Soit \(ABC\) un triangle.

• \(I\) est le barycentre de \(\{(A, 2) ; (C, 1)\}\).
• \(J\) est le barycentre de \(\{(A, 1) ; (B, 2)\}\).
• \(K\) est le barycentre de \(\{(C, 1) ; (B, -4)\}\).

1. Exprimer \(\vec{AI}\) en fonction de \(\vec{AC}\) et \(\vec{AJ}\) en fonction de \(\vec{AB}\).
2. Montrer que \(J\) est le barycentre de \(\{(A, 2) ; (B, 4)\}\).
3. Soit \(G\) le barycentre de \(\{(A, 2) ; (B, 4) ; (C, 1)\}\).
   a) Montrer que \(G \in (IC)\).
   b) Montrer que \(G \in (JK)\).
4. En déduire que les droites \((IC)\) et \((JK)\) sont sécantes en \(G\).

Objectif : Centre de gravité et associativité.

Soit \(ABC\) un triangle. On note \(A’, B’, C’\) les milieux respectifs de \([BC], [AC], [AB]\).

Soit \(G\) l’isobarycentre de \(A, B, C\).

1. En utilisant l’associativité, montrer que \(G\) appartient à la droite \((AA’)\).
2. De même, montrer que \(G \in (BB’)\) et \(G \in (CC’)\).
3. Conclure sur la propriété des médianes d’un triangle.

Objectif : Barycentre de sous-systèmes.

Une plaque métallique homogène a la forme d’un carré \(ABCD\) de côté 4 cm auquel on a accolé un triangle isocèle \(CDE\) (extérieur au carré) de hauteur 3 cm (issue de E sur [CD]).

1. Déterminer le centre d’inertie \(G_1\) du carré \(ABCD\) (son centre).
2. Déterminer le centre d’inertie \(G_2\) du triangle \(CDE\) (son centre de gravité).
3. Les aires sont proportionnelles aux masses (car plaque homogène).
   Calculer l’aire du carré \(\mathcal{A}_1\) et l’aire du triangle \(\mathcal{A}_2\).
4. Le centre d’inertie \(G\) de la plaque entière est le barycentre de \(\{(G_1, \mathcal{A}_1) ; (G_2, \mathcal{A}_2)\}\).
   Construire \(G\) géométriquement.

Objectif : Lien Barycentre – Produit Scalaire.

Soient \(A\) et \(B\) deux points tels que \(AB = 6\). Soit \(G\) le milieu de \([AB]\).

1. Montrer que pour tout point \(M\), \(MA^2 + MB^2 = 2MG^2 + \frac{AB^2}{2}\). (Théorème de la médiane).
2. Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2 + MB^2 = 26\).
3. Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2 – MB^2 = 12\). (Utiliser \(MA^2 – MB^2 = (\vec{MA}-\vec{MB})\cdot(\vec{MA}+\vec{MB})\)).

Objectif : Quadrilatère.

Soit \(ABCD\) un quadrilatère quelconque.

On appelle \(I\) le milieu de \([AC]\) et \(J\) le milieu de \([BD]\).

Soit \(G\) l’isobarycentre de \(A, B, C, D\).

1. Montrer que \(G\) est le milieu du segment \([IJ]\).
2. Soient \(K\) et \(L\) les milieux respectifs de \([AB]\) et \([CD]\).
   Montrer que \(G\) est aussi le milieu de \([KL]\).
3. Que peut-on dire des segments \([IJ]\) et \([KL]\) ?

Objectif : Existence du barycentre.

Soit \(ABC\) un triangle.

Pour tout réel \(m\), on considère le système de points pondérés \(S_m = \{(A, m) ; (B, 1) ; (C, 1-m)\}\).

1. Calculer la somme des poids. Pour quelles valeurs de \(m\) le barycentre \(G_m\) existe-t-il ?
2. Construire \(G_1\) (pour \(m=1\)) et \(G_0\) (pour \(m=0\)).
3. Montrer que pour tout \(m\), \(\vec{AG_m} = (1-m)\vec{BC}\) (ou une expression similaire, à vérifier par le calcul : \(2\vec{AG_m} = \vec{AB} + (1-m)\vec{AC}\)…).
   Correction : La somme des poids est \(m + 1 + 1 – m = 2\). Donc \(G_m\) existe toujours.
   \(2\vec{OG_m} = m\vec{OA} + \vec{OB} + (1-m)\vec{OC}\).
4. Quel est le lieu géométrique des points \(G_m\) lorsque \(m\) décrit \(\mathbb{R}\) ?