Soit \(ABCD\) un losange de centre \(O\) tel que \(AC = 8\) et \(BD = 6\).

1. Calculer le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AD}\).
2. En déduire \(\cos(\widehat{BAD})\).
3. Calculer \(\vec{AO} \cdot \vec{AB}\) et \(\vec{BO} \cdot \vec{BC}\).
4. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(O\) sur la droite \((AB)\). Calculer la longueur \(AH\).

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 5\), \(AC = 7\) et \(BC = 8\).

1. Calculer \(\cos(\widehat{BAC})\).
2. Calculer le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
3. Soit \(M\) un point tel que \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}\). Calculer \(AM^2\).

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 4\), \(AC = 6\) et \(BC = 7\). On note \(I\) le milieu de \([BC]\).

1. Calculer la longueur de la médiane \(AI\).
2. Calculer le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\).
3. Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que : \[ MA^2 + MB^2 = 24 \]

Dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points \(A(1, 2)\) et \(B(3, -1)\).

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}(2, 5)\).
2. Calculer la distance du point \(B\) à la droite \((D)\).
3. Déterminer les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(B\) sur \((D)\).

1. Déterminer l’équation cartésienne du cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(\Omega(-1, 3)\) et de rayon \(R = 4\).
2. Déterminer l’équation du cercle \((\mathcal{C}’)\) de diamètre \([AB]\) avec \(A(2, 5)\) et \(B(-4, 1)\).
3. Montrer que l’ensemble des points \(M(x, y)\) vérifiant : \[ x^2 + y^2 – 6x + 4y + 4 = 0 \] est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

On considère le cercle \((\mathcal{C})\) d’équation \(x^2 + y^2 – 2x + 4y – 5 = 0\) et la droite \((D_m)\) d’équation \(x + y + m = 0\).

1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \((\mathcal{C})\).
2. Étudier suivant les valeurs de \(m\) la position relative de \((\mathcal{C})\) et \((D_m)\).
3. Pour \(m=4\), montrer que la droite est tangente au cercle et déterminer les coordonnées du point de contact.

Soit \((\mathcal{C})\) le cercle de centre \(\Omega(1, 1)\) et de rayon \(R = 3\).

1. Calculer la puissance du point \(A(4, 5)\) par rapport au cercle \((\mathcal{C})\).
2. Le point \(A\) est-il à l’intérieur ou à l’extérieur du cercle ?
3. Calculer la longueur de la tangente issue de \(A\) au cercle \((\mathcal{C})\).
4. Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan dont la puissance par rapport à \((\mathcal{C})\) est égale à 16.

On considère deux cercles :
\((\mathcal{C}_1) : x^2 + y^2 – 4x – 2y + 1 = 0\)
\((\mathcal{C}_2) : x^2 + y^2 + 2x – 6y + 6 = 0\)

1. Déterminer les centres \(\Omega_1, \Omega_2\) et les rayons \(R_1, R_2\).
2. Déterminer l’équation de l’axe radical \((\Delta)\) des deux cercles.
3. Montrer que \((\Delta)\) est perpendiculaire à la droite des centres \((\Omega_1\Omega_2)\).
4. Les deux cercles sont-ils sécants ? Si oui, déterminer les points d’intersection.

Soit \(ABC\) un triangle. On construit à l’extérieur de ce triangle deux carrés \(ABDE\) et \(ACFG\).

1. Montrer que \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = – \vec{AD} \cdot \vec{AG}\) (ou une relation similaire selon l’orientation).
2. Démontrer que la médiane issue de \(A\) dans le triangle \(ABC\) est perpendiculaire à la droite \((EG)\).
3. Montrer que \(BC^2 + EG^2 = 2(AB^2 + AC^2)\).

Soient \(A\) et \(B\) deux points tels que \(AB = 2a\) (\(a > 0\)). Soit \(I\) le milieu de \([AB]\).

1. Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2 – MB^2 = 4a^2\).
2. Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(\frac{MA}{MB} = 2\).
   (Indication : Élever au carré et introduire des barycentres partiels).
3. Montrer que pour tout point \(M\), \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 – a^2\).