Dans l’espace, on considère trois points \(A(1, 2, -1)\), \(B(3, 0, 5)\) et \(C(0, 3, -4)\).

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
2. Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont-ils colinéaires ?
3. Que peut-on en déduire pour les points \(A\), \(B\) et \(C\) ?
4. Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.

Soient les vecteurs \(\vec{u}(1, 2, 0)\), \(\vec{v}(0, 1, -1)\) et \(\vec{w}(2, 5, -1)\).

1. Montrer que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.
2. Déterminer deux réels \(x\) et \(y\) tels que \(\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}\).
3. Que peut-on conclure sur les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}\) et \(\vec{w}\) ?
4. Soit \(A(1, 1, 1)\). Les points \(A\), \(A+\vec{u}\), \(A+\vec{v}\) et \(A+\vec{w}\) sont-ils coplanaires ?

Soit \(ABCD\) un tétraèdre. On considère les points \(I\) et \(J\) tels que : \[ \vec{AI} = \frac{1}{3}\vec{AB} \quad \text{et} \quad \vec{AJ} = \frac{2}{3}\vec{AC} \]

1. Exprimer le vecteur \(\vec{IJ}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
2. Soit \(G\) le point tel que \(\vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{1}{3}\vec{AD}\).
   Montrer que \(G\) est le centre de gravité du triangle \(BCD\) ? (Vérifier la définition du centre de gravité).
3. Montrer que les vecteurs \(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\) forment une base de l’espace vectoriel des vecteurs de l’espace.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(A(2, -1, 3)\) et dirigée par le vecteur \(\vec{u}(1, 4, -2)\).
2. Le point \(M(4, 7, -1)\) appartient-il à la droite \((D)\) ?
3. Déterminer l’intersection de la droite \((D)\) avec le plan coordonné \((Oxy)\) (d’équation \(z=0\)).

On considère les points \(A(1, 0, 1)\), \(B(2, 1, 3)\) et \(C(-1, 2, 0)\).

1. Justifier que les points \(A, B, C\) définissent un unique plan \((P)\).
2. Donner une représentation paramétrique du plan \((P)\).
3. Le point \(E(0, 3, 4)\) appartient-il au plan \((P)\) ?

Soient les droites \((D_1)\) et \((D_2)\) de représentations respectives : \[ (D_1) : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 – t \\ z = 3t \end{cases} \quad \text{et} \quad (D_2) : \begin{cases} x = 2s \\ y = 1 + s \\ z = 2 – s \end{cases} \]

1. Donner un vecteur directeur pour chaque droite. Les droites sont-elles parallèles ?
2. Étudier l’intersection de \((D_1)\) et \((D_2)\) (sécantes, parallèles ou non coplanaires ?).

Soit \((D)\) la droite passant par \(A(1, 1, 1)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(1, -1, 2)\).

Soit \((P)\) le plan passant par \(B(0, 0, 0)\) de vecteurs directeurs \(\vec{v}(1, 0, 1)\) et \(\vec{w}(0, 1, -1)\).

1. Montrer que \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires.
2. En déduire que la droite \((D)\) est parallèle au plan \((P)\).
3. La droite \((D)\) est-elle incluse dans le plan \((P)\) ?

On considère un cube \(ABCDEFGH\). On note \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([FG]\).

1. Exprimer \(\vec{IJ}\) en fonction de \(\vec{AB}, \vec{AD}\) et \(\vec{AE}\).
2. Montrer que les vecteurs \(\vec{IJ}, \vec{AC}\) et \(\vec{AF}\) sont coplanaires.
3. Déterminer l’intersection du plan \((IJG)\) avec la face \(ABCD\).

On considère le système suivant définissant une droite \((L)\) : \[ (L) : \begin{cases} x – y + z – 1 = 0 \\ 2x + y – z + 4 = 0 \end{cases} \]

1. Justifier que ce système définit bien une droite (vérifier que les plans ne sont pas parallèles).
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((L)\).
   (Indice : Poser \(x = t\) ou une autre coordonnée comme paramètre).

Soient les vecteurs \(\vec{u}(m, 1, 1)\), \(\vec{v}(1, m, 1)\) et \(\vec{w}(1, 1, m)\) où \(m \in \mathbb{R}\).

1. Pour quelles valeurs de \(m\) les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont-ils colinéaires ?
2. Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires.
3. Dans le cas où ils sont coplanaires, exprimer \(\vec{w}\) en fonction de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).