Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les vecteurs :
\(\vec{u}(1, -2, 2)\) et \(\vec{v}(2, 1, m)\) où \(m\) est un paramètre réel.

1. Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) en fonction de \(m\).
2. Déterminer la valeur de \(m\) pour que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) soient orthogonaux.
3. Calculer la norme \(||\vec{u}||\) et \(||\vec{v}||\) pour \(m=2\).
4. En déduire le cosinus de l’angle \((\vec{u}, \vec{v})\) pour \(m=2\).

On considère le point \(A(1, 2, -1)\) et le vecteur \(\vec{n}(3, -1, 2)\).

1. Déterminer l’équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}\).
2. Soit \(B(4, 0, 1)\) un point de l’espace. Calculer la distance \(d(B, (P))\).
3. Déterminer les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(B\) sur le plan \((P)\).

1. Déterminer l’équation de la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(2, -1, 3)\) et de rayon \(R=5\).
2. Déterminer l’équation de la sphère \((S’)\) de diamètre \([AB]\) avec \(A(1, 0, 2)\) et \(B(-3, 2, 4)\).
3. Montrer que l’ensemble des points \(M(x, y, z)\) vérifiant : \[ x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 6y – 2z + 5 = 0 \] est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.

Soit \((S)\) la sphère d’équation \(x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0\).

1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \((S)\).
2. On considère le plan \((P)\) d’équation \(x + 2y – 2z – 5 = 0\).
   Calculer la distance \(d(\Omega, (P))\) et en déduire la position relative de \((P)\) et \((S)\).
3. Déterminer le rayon \(r\) du cercle d’intersection \((\mathcal{C})\) et les coordonnées de son centre \(H\).

Soient les droites \((D_1)\) et \((D_2)\) définies par :
\((D_1) : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = 3 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\)
\((D_2) : \begin{cases} x – y + z – 1 = 0 \\ 2x + y – z + 4 = 0 \end{cases}\)

1. Déterminer un vecteur directeur \(\vec{u_1}\) de \((D_1)\) et un vecteur directeur \(\vec{u_2}\) de \((D_2)\).
2. Montrer que les droites \((D_1)\) et \((D_2)\) sont orthogonales.
3. Sont-elles sécantes ? Justifier.

(Notion spécifique SM)

Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(1, 1, 1)\) et de rayon \(R=2\).

1. Donner l’expression de la puissance d’un point \(M(x, y, z)\) par rapport à \((S)\).
2. Calculer la puissance du point \(A(3, 3, 3)\) par rapport à \((S)\).
3. Le point \(A\) est-il à l’intérieur ou à l’extérieur de la sphère ?
4. Soit \((S’)\) la sphère d’équation \(x^2 + y^2 + z^2 – 4x = 0\). Déterminer l’équation du plan radical des sphères \((S)\) et \((S’)\).

On considère la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(0, 2, -1)\) et de rayon \(\sqrt{6}\).
Soit \((P_m)\) le plan d’équation : \(x – 2y + z + m = 0\).

1. Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles le plan \((P_m)\) est tangent à la sphère \((S)\).
2. Pour la valeur positive de \(m\), déterminer les coordonnées du point de contact \(T\).

(En utilisant le produit vectoriel vu dans votre cours PDF)

Soient \(A(1, 1, 0)\), \(B(2, 0, 1)\) et \(C(0, 2, 1)\).

1. Calculer le vecteur \(\vec{w} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}\).
2. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
3. Déterminer l’équation du plan \((ABC)\).
4. Calculer la distance du point \(O(0, 0, 0)\) à la droite \((AB)\) en utilisant le produit vectoriel.

Soient \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 1, 0)\), \(C(0, 0, 1)\) et \(D(1, 1, 1)\).

1. Calculer le produit mixte \((\vec{AB} \wedge \vec{AC}) \cdot \vec{AD}\).
2. En déduire le volume du tétraèdre \(ABCD\).
3. Calculer la hauteur du tétraèdre issue du sommet \(D\).

Soient \(A(1, 2, 3)\) et \(B(3, 0, 1)\) deux points de l’espace.

1. Déterminer l’ensemble des points \(M(x, y, z)\) tels que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\).
2. Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2 – MB^2 = 4\). (Introduire le milieu \(I\) de \([AB]\)).
3. Montrer que cet ensemble est un plan perpendiculaire à la droite \((AB)\).