Objectif : Utiliser les propriétés fondamentales de la division dans \(\mathbb{Z}\).

1. Montrer que pour tout entier relatif \(n\), \(n(n+1)(n+2)\) est divisible par 6.
2. Déterminer tous les entiers relatifs \(n\) tels que \((n-3)\) divise \((n+5)\).
3. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que le nombre \(A = n^3 – n\) est toujours un multiple de 3.

Objectif : Maîtriser l’unicité du quotient et du reste.

1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de \(-145\) par \(12\).
2. Le reste de la division euclidienne d’un entier \(n\) par 18 est 13. Quel est le reste de la division de \(n\) par 6 ? Et par 9 ?
3. Trouver tous les entiers naturels qui, divisés par 7, donnent un quotient égal au reste.

Objectif : Utiliser les propriétés de l’arithmétique modulaire.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de \(3^{2025}\) par 7.
2. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(2^{3n} – 1\) est divisible par 7.
3. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), le nombre \(4^{n} + 6n – 1\) est divisible par 9.

Objectif : Calculer et utiliser les plus grands diviseurs communs.

1. Calculer \(PGCD(126, 230)\) en utilisant l’algorithme d’Euclide.
2. En déduire le \(PPCM(126, 230)\).
3. Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Déterminer \(PGCD(n, n+1)\) et \(PPCM(n, n+1)\).

Objectif : Démontrer des propriétés d’optimalité et de divisibilité.

1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), les nombres \(2n+1\) et \(3n+2\) sont premiers entre eux.
2. Soient \(a, b, c\) trois entiers relatifs. Montrer que si \(a \wedge b = 1\) et \(a \wedge c = 1\), alors \(a \wedge (bc) = 1\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{Z}^2\) l’équation : \(3x – 5y = 1\).

Objectif : Utiliser le théorème fondamental de l’arithmétique.

1. Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres 120 et 1050.
2. Déterminer le nombre de diviseurs positifs de \(360\).
3. Trouver un entier \(n\) dont la décomposition est \(2^a \times 3^b\) et qui possède exactement 12 diviseurs, sachant que son triple possède 15 diviseurs.

Objectif : Passer d’une base à une autre.

1. Écrire le nombre \(2024\) (base 10) en base 2.
2. Soit \(N = \overline{1x2y}\) en base 10. Déterminer les chiffres \(x\) et \(y\) pour que \(N\) soit divisible par 4 et par 9.
3. Montrer que le nombre \(\overline{abcabc}\) en base 10 est toujours divisible par 7, 11 et 13.

Objectif : Résoudre des équations à solutions entières.

1. Résoudre dans \(\mathbb{N}^2\) l’équation : \(xy – 2x – 3y = 0\).
2. Trouver tous les couples \((x, y) \in \mathbb{Z}^2\) tels que \(x^2 – y^2 = 15\).

Objectif : Approfondir la structure de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).

1. Soit \(p\) un nombre premier. Montrer que si \(p\) ne divise pas \(a\), alors \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\) (Petit Théorème de Fermat).
2. Application : Quel est le reste de la division de \(2^{100}\) par 13 ?

Objectif : Problème de synthèse.

Soit \(n\) un entier naturel. Montrer que si \(n^2 + 1\) est un nombre premier, alors \(n\) est soit égal à 1, soit pair.