Dans une base orthonormée directe \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les vecteurs suivants :
\(\vec{u}(2, -1, 3)\) et \(\vec{v}(1, 4, -2)\).

1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}\).
2. Vérifier par le calcul que \(\vec{w} \cdot \vec{u} = 0\) et \(\vec{w} \cdot \vec{v} = 0\).
3. Calculer le vecteur \(\vec{v} \wedge \vec{u}\). Que remarquez-vous ?

Soient les vecteurs \(\vec{u}(m, 2, 1)\) et \(\vec{v}(3, m-1, 1,5)\) où \(m\) est un paramètre réel.

1. Exprimer \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) en fonction de \(m\).
2. Déterminer la valeur de \(m\) pour laquelle les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, on considère les points :
\(A(1, 2, 0)\), \(B(0, 1, 2)\) et \(C(2, 0, 1)\).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
2. Calculer le vecteur \(\vec{AB} \wedge \vec{AC}\).
3. En déduire l’aire du triangle \(ABC\).

Soient \(A(1, 1, 1)\), \(B(2, 3, 0)\) et \(D(-1, 0, 2)\) trois points de l’espace.

1. Déterminer les coordonnées du point \(C\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
2. Calculer l’aire du parallélogramme \(ABCD\) en utilisant le produit vectoriel.

On considère la droite \((D)\) passant par le point \(A(1, 0, -1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(2, 1, 2)\).

1. Calculer la distance du point \(M(3, 2, 1)\) à la droite \((D)\) en utilisant la formule : \[ d(M, (D)) = \frac{||\vec{AM} \wedge \vec{u}||}{||\vec{u}||} \]

Soient \(A(1, -1, 1)\), \(B(2, 0, 3)\) et \(C(0, 1, 2)\) trois points de l’espace.

1. Montrer que les points \(A, B, C\) ne sont pas alignés en utilisant le produit vectoriel.
2. Calculer \(\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}\).
3. En déduire une équation cartésienne du plan \((ABC)\).

Soient \(\vec{u}(1, 1, 0)\) et \(\vec{v}(0, 1, 1)\).

1. Déterminer un vecteur \(\vec{w}\) de norme \(1\) qui soit orthogonal à la fois à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).
2. Y a-t-il une seule solution ? Justifier.

Soit le triangle \(ABC\) avec \(A(2, 1, 3)\), \(B(4, 2, 1)\) et \(C(1, 3, 2)\).

1. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
2. En déduire la longueur de la hauteur issue du sommet \(C\).
   (Indication : Utiliser la relation entre l’aire, la base \(AB\) et la hauteur \(h\)).

Soient \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) trois vecteurs de l’espace.

1. Démontrer que : \(\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) + \vec{v} \wedge (\vec{w} + \vec{u}) + \vec{w} \wedge (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{0}\).

On considère les points \(A(2, 0, 0)\), \(B(0, 2, 0)\) et \(C(0, 0, 2)\).

1. Calculer le volume du tétraèdre \(OABC\) (où \(O\) est l’origine) en utilisant la formule : \[ V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \wedge \vec{AC}) \cdot \vec{AO}| \]
2. Calculer l’aire de la face \(ABC\).
3. En déduire la distance de l’origine \(O\) au plan \((ABC)\).