Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite numérique définie par :

\[ u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{5u_n}{2u_n + 3} \]

1. Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(0 < u_n < 1\).
2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\) et en déduire qu’elle est convergente.
3. On considère la suite \((v_n)\) définie par : \(v_n = \frac{u_n}{1 – u_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
   a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = \frac{5}{3}\).
   b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
   c) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).

On considère la suite \((w_n)\) définie par \(w_0 = 2\) et \(w_{n+1} = \sqrt{w_n + 6}\).

1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(0 \leq w_n < 3\).
2. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(3 – w_{n+1} \leq \frac{1}{3}(3 – w_n)\).
3. En déduire par récurrence que : \(3 – w_n \leq \left(\frac{1}{3}\right)^n (3 – w_0)\).
4. Déterminer la limite de la suite \((w_n)\).

Déterminer les fonctions primitives \(F\) de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(I\) dans les cas suivants :

1. \(f(x) = 4x^3 – 6x^2 + 2x – 5\) sur \(I = \mathbb{R}\).
2. \(f(x) = \frac{2x+1}{(x^2+x+1)^3}\) sur \(I = \mathbb{R}\).
3. \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x+2}}\) sur \(I = ]-\frac{2}{3}, +\infty[\).
4. \(f(x) = \sin(x) \cos^4(x)\) sur \(I = \mathbb{R}\).
5. \(f(x) = \frac{x^2}{\sqrt[3]{x^3+1}}\) sur \(I = ]-1, +\infty[\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(I = ]0, +\infty[\) par : \(f(x) = \frac{x^2 – 1}{x^2}\).

1. Montrer que pour tout \(x \in I\), \(f(x) = 1 – \frac{1}{x^2}\).
2. Déterminer la forme générale des primitives de \(f\) sur \(I\).
3. Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) qui s’annule en \(x_0 = 1\).
4. Soit \(G\) la fonction définie sur \(I\) par \(G(x) = F(x) – x\). Étudier les variations de \(G\).