1. Simplifier les expressions suivantes :
   • \(A = \frac{(e^x)^3 \times e^{-2x}}{e^x}\)
   • \(B = \ln(e^2) + e^{-\ln(2)}\)
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes :
   • \(e^{2x} – 3e^x + 2 = 0\)
   • \(e^{x+1} > \frac{1}{e}\)
3. Calculer les limites :
   • \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x}{e^x – 1}\)
   • \(\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x)e^x\)

Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x) = (x-2)e^x + 2\).

1. Déterminer \(D_f\) et calculer les limites aux bornes.
2. Étudier les branches infinies de la courbe \((C_f)\).
3. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) = (x-1)e^x\).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\).
5. Donner l’équation de la tangente \((T)\) au point d’abscisse \(0\).
6. Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans l’intervalle \([1, 2]\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation : \(z^2 – 2z + 4 = 0\).
2. Écrire les solutions sous forme exponentielle.
3. Soit l’équation \((E) : z^3 – 4z^2 + 8z – 8 = 0\).
   a) Vérifier que \(z_0 = 2\) est une solution de \((E)\).
   b) Déterminer les réels \(a, b\) et \(c\) tels que \(z^3 – 4z^2 + 8z – 8 = (z-2)(az^2 + bz + c)\).
   c) En déduire toutes les solutions de \((E)\).

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\). On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives : \(a = 2\), \(b = 1+i\sqrt{3}\) et \(c = 1-i\sqrt{3}\).

1. Montrer que le triangle \(OAB\) est équilatéral.
2. Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\).
   a) Donner l’écriture complexe de la rotation \(R\).
   b) Déterminer l’affixe du point \(B’\), image de \(B\) par \(R\).
3. Soit \(T\) la translation de vecteur \(\vec{u}\) d’affixe \(t = -2\).
   Déterminer l’affixe de \(A’\), image de \(A\) par \(T\).
4. Soit \(h\) l’homothétie de centre \(A\) et de rapport \(k = 2\).
   Déterminer l’expression complexe de \(h\) et l’affixe du point \(C’\) image de \(C\) par \(h\).