Calculer les intégrales suivantes en justifiant la méthode utilisée :

1. \(I_1 = \int_{0}^{1} (3x^2 – 2x + 1) \, dx\)
2. \(I_2 = \int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \, dx\)
3. \(I_3 = \int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx\) (Utiliser une intégration par parties)
4. \(I_4 = \int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx\)
5. \(I_5 = \int_{1}^{2} \frac{1}{x(x+1)} \, dx\) (Remarquer que \(\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} – \frac{1}{x+1}\))

1. Résoudre l’équation différentielle \((E_1) : y’ + 2y = 0\).
   Déterminer la solution \(f\) de \((E_1)\) telle que \(f(0) = 3\).
2. Résoudre l’équation différentielle \((E_2) : y » – 3y’ + 2y = 0\).
   Déterminer la solution \(g\) de \((E_2)\) telle que \(g(0) = 1\) et \(g'(0) = 0\).
3. Résoudre l’équation différentielle \((E_3) : y » + 9y = 0\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^x – x – 1\).

1. Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et montrer que \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
2. Calculer l’aire \(\mathcal{A}\) du domaine délimité par la courbe \((C_f)\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 1\).
3. On considère la fonction \(g(x) = e^x\). Calculer l’aire du domaine compris entre les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) sur l’intervalle \([0, 2]\).

On considère la suite \((I_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par : \(I_n = \int_{0}^{1} x^n e^{-x} \, dx\).

1. Calculer \(I_0\).
2. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(I_n \geq 0\).
3. En utilisant une intégration par parties, montrer que : \[ I_{n+1} = (n+1)I_n – \frac{1}{e} \]
4. En déduire la valeur de \(I_1\).
5. Montrer que la suite \((I_n)\) est décroissante. Est-elle convergente ?