Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(2, 1, 3)\), \(B(3, 1, 1)\) et la sphère \((S)\) d’équation : \(x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 4y – 6z + 5 = 0\).

1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de la sphère \((S)\).
2. Vérifier que le point \(A\) appartient à la sphère \((S)\).
3. Déterminer une équation cartésienne du plan \((P)\) tangent à \((S)\) au point \(A\).
4. Calculer la distance du point \(B\) au plan \((P)\).

Soient les points \(A(1, 1, 0)\), \(B(2, 1, 2)\) et \(C(0, 3, 1)\).

1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}\).
2. En déduire l’aire du triangle \(ABC\).
3. Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
4. Soit \((D)\) la droite passant par le point \(E(1, 2, 3)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(1, -1, 1)\). Calculer la distance du point \(A\) à la droite \((D)\).

Un sac contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. On tire simultanément 3 jetons du sac.

1. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2. Déterminer le nombre de tirages contenant exactement deux nombres pairs.
3. Déterminer le nombre de tirages dont la somme des numéros est égale à 6.
4. Déterminer le nombre de tirages contenant au moins un numéro supérieur ou égal à 8.

Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire successivement et sans remise 3 boules de l’urne.

1. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 boules de même couleur ?
2. Calculer la probabilité d’obtenir au moins une boule blanche.
3. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues lors du tirage.
   a) Déterminer l’ensemble des valeurs prises par \(X\).
   b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
   c) Calculer l’espérance mathématique \(E(X)\) et interpréter le résultat.
4. On répète l’expérience précédente 5 fois de suite (en remettant les boules à chaque fin d’expérience complète). Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 2 fois « aucune boule blanche » ?