1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(\ln(2x – 1) + \ln(x) = \ln(3)\). (1.5 pts)
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(\ln(x^2 – 1) \leq \ln(3)\). (1.5 pts)
3. Calculer les limites suivantes : (3 pts)
   • \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x) + x}{x^2}\)
   • \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x \ln(x)}\)
   • \(\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2 – 1}\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0, +\infty[\) par : \(f(x) = \ln(x) – \frac{1}{\ln(x)}\).

1. Déterminer \(D_f\) le domaine de définition de \(f\). (1 pt)
2. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D_f\). (2 pts)
3. Montrer que pour tout \(x \in D_f\) : \(f'(x) = \frac{1}{x} \left( 1 + \frac{1}{(\ln x)^2} \right)\). (1.5 pts)
4. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\). (1.5 pts)
5. Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) sur chaque intervalle de son domaine. (1 pt)

1. Soient les nombres complexes : \(z_1 = 1 + i\sqrt{3}\) et \(z_2 = 1 – i\).
   1. Déterminer la forme trigonométrique de \(z_1\) et \(z_2\). (1.5 pts)
   2. En déduire la forme trigonométrique de \(Z = \frac{z_1}{z_2}\). (1 pt)
   3. Déterminer la forme algébrique de \(Z\). (1 pt)
   4. En déduire les valeurs exactes de \(\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)\) et \(\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)\). (1.5 pts)
2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation : \(z^2 – 2z + 2 = 0\). (1 pt)
3. Soit \(A\) et \(B\) deux points d’affixes respectives \(a = 1+i\) et \(b = 1-i\).
   Montrer que le triangle \(OAB\) est rectangle et isocèle en \(O\). (1 pt)