MATHÉMATIQUES : PROGRAMME DE LA 2ÈME ANNÉE DU BACCALAURÉAT
Limites et Continuité
Chapitre 1 : Analyse Réelle Approfondie
I. Continuité d’une fonction
La continuité est la propriété d’une fonction dont la courbe peut être tracée sans lever le crayon.
1.1 Continuité en un point
On dit qu’une fonction $f$ est continue en un point $x_0$ si :
Cela implique trois conditions : $f$ est définie en $x_0$, la limite en $x_0$ existe, et cette limite est égale à l’image.
1.2 Continuité à gauche et à droite
$f$ est continue en $x_0$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en $x_0$ :
1.3 Continuité sur un intervalle
Une fonction est continue sur un intervalle ouvert $]a, b[$ si elle est continue en tout point de cet intervalle. Pour un intervalle fermé $[a, b]$, on ajoute la continuité à droite en $a$ et à gauche en $b$.
II. Opérations sur les fonctions continues
Si $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$, alors :
- $f+g$, $f \times g$ et $k \cdot f$ ($k \in \mathbb{R}$) sont continues sur $I$.
- $f/g$ est continue sur $I$ (là où $g(x) \neq 0$).
- $|f|$ et $\sqrt{f}$ (si $f \ge 0$) sont continues sur $I$.
Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $g$ est continue sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$, alors la fonction composée $g \circ f$ est continue sur $I$.
III. Image d’un intervalle
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle de même nature ou plus restreint.
L’image d’un segment $[a, b]$ par une fonction continue $f$ est un segment $[m, M]$ où $m$ est le minimum absolu et $M$ le maximum absolu de $f$ sur $[a, b]$.
IV. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
C’est l’un des théorèmes les plus importants pour démontrer l’existence de solutions d’équations.
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que :
Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a) \times f(b) < 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution $\alpha \in ]a, b[$.
Unicité : Si en plus $f$ est strictement monotone, la solution $\alpha$ est unique.
V. Fonction Réciproque et Bijection
Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors elle réalise une bijection de $I$ vers l’intervalle $J = f(I)$.
Cela signifie que pour tout $y \in J$, l’équation $f(x) = y$ admet une solution unique dans $I$. On peut alors définir la fonction réciproque $f^{-1}$ de $J$ vers $I$.
- $f^{-1}$ a le même sens de variation que $f$.
- $f^{-1}$ est continue sur $J = f(I)$.
- Les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$.
VI. Fonctions Racines n-ièmes
La fonction racine n-ième est la réciproque de la fonction puissance $x^n$.
Pour tout entier $n \ge 2$, la fonction $x \mapsto x^n$ est une bijection de $\mathbb{R}^+$ vers $\mathbb{R}^+$. Sa réciproque est appelée fonction racine n-ième, notée :
- $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
- $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$
- $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$
VII. Limites usuelles et Formes Indéterminées
Les quatre formes à lever absolument sont :
- Factorisation : Utiliser le terme de plus haut degré pour les limites à l’infini des polynômes.
- Expression conjuguée : Utilisée pour lever l’indétermination avec des racines carrées.
- Changement de variable : Poser $X = 1/x$ ou $X = x-x_0$ pour se ramener à des limites connues en 0.