MATHÉMATIQUES : PROGRAMME DE LA 2ÈME ANNÉE DU BACCALAURÉAT
Limites et Continuité
Chapitre 1 : Analyse Réelle Approfondie
I. Continuité en un point
1.1 Définition de base
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$. On dit que $f$ est continue au point $x_0$ si :
Soit $f(x) = \frac{x^2 – |x|}{|x| – 1}$ pour $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ et $f(1) = 1$. Étudions la continuité en $x_0 = 1$ :
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{|x|(|x|-1)}{|x|-1} = \lim_{x \to 1} |x| = 1$.
Comme $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$, la fonction est continue en $x_0 = 1$.
1.2 Continuité à droite et à gauche
$f$ est continue en $x_0$ si et seulement si :
Trouver $a$ pour que $f(x) = \begin{cases} x^2 – x & \text{si } x \le 0 \\ x + a\sqrt{x^2+x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$ soit continue en 0 :
1. $f(0) = 0^2 – 0 = 0$.
2. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$.
3. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + a\sqrt{1} = a$.
Pour la continuité, il faut $a = f(0)$, soit $a = 0$.
II. Continuité sur un intervalle
- Sur $]a, b[$ : $f$ est continue en tout point $x \in ]a, b[$.
- Sur $[a, b]$ : $f$ est continue sur $]a, b[$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$.
Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$, alors $f+g$, $f \times g$ et $\alpha f$ sont continues sur $I$. Si $g \neq 0$, $f/g$ est aussi continue sur $I$.
III. Continuité des fonctions usuelles
- Toute fonction polynomiale est continue sur $\mathbb{R}$.
- Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
- Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
- La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$.
IV. Image d’un intervalle
Si $f$ est continue et strictement croissante sur $I = [a, b]$, alors $f(I) = [f(a), f(b)]$.
Si $f$ est strictement décroissante, alors $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$.
Soit $f(x) = x^2$. L’image de $I = [1, 2]$ est $f(I) = [1^2, 2^2] = [1, 4]$.
L’image de $J = [-4, 6]$ (non monotone) est $[0, 36]$ (car $0$ est le minimum).
V. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.
Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f(a) \times f(b) < 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a, b[$.
Note : Si $f$ est strictement monotone, la solution est unique.
VI. Fonction Réciproque
Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J = f(I)$.
Soit $f(x) = x^2$ sur $[0, 3]$.
1. $f$ est continue et strictement croissante sur $[0, 3]$.
2. $J = f([0, 3]) = [0, 9]$.
3. Résolvons $y = x^2$ pour $x \in [0, 3]$ : $x = \sqrt{y}$.
D’où $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ définie sur $[0, 9]$.
VII. Racines n-ièmes et puissances
La réciproque de $x \mapsto x^n$ sur $[0, +\infty[$ est notée $\sqrt[n]{x}$ ou $x^{1/n}$.
- $\sqrt[n]{a \times b} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$
- $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \times m]{a}$
- $\sqrt[n \times m]{a^m} = \sqrt[n]{a}$
Simplifier $A = \sqrt[5]{\sqrt[3]{81}} \times \sqrt[15]{3^{11}}$ :
$A = \sqrt[15]{81} \times \sqrt[15]{3^{11}} = \sqrt[15]{3^4 \times 3^{11}} = \sqrt[15]{3^{15}} = 3$.
Pour $x > 0$ et $r = m/n \in \mathbb{Q}$, on pose : $x^r = \sqrt[n]{x^m}$.