Cours Suites Numériques 2Bac Sciences Physiques : Limites, Convergence, Suites Arithmétiques et Géométriques

Cours : Suites Numériques (2Bac Sc. Physiques)

MATHÉMATIQUES : PROGRAMME DE LA 2ÈME ANNÉE DU BACCALAURÉAT

Suites Numériques

Chapitre 3 : Convergence et Étude des Limites

Sommaire du cours

I. Généralités sur les suites numériques

Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite numérique dont le premier terme est $u_{n_0}$.

1.1 Suite majorée – minorée – bornée

Définitions
  • Une suite $(u_n)$ est majorée par un réel $M$ si et seulement si : $\forall n \ge n_0; u_n \le M$.
  • Une suite $(u_n)$ est minorée par un réel $m$ si et seulement si : $\forall n \ge n_0; u_n \ge m$.
  • Une suite $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
  • Propriété : $(u_n)$ est bornée $\iff \exists A \in \mathbb{R}^+; \forall n \ge n_0; |u_n| \le A$.

1.2 La monotonie d’une suite

Définitions
  • Croissante : $\forall n \ge n_0; u_n \le u_{n+1}$.
  • Strictement croissante : $\forall n \ge n_0; u_n < u_{n+1}$.
  • Décroissante : $\forall n \ge n_0; u_n \ge u_{n+1}$.
  • Strictement décroissante : $\forall n \ge n_0; u_n > u_{n+1}$.
  • Constante : $\forall n \ge n_0; u_n = u_{n+1}$.
  • Périodique : $\exists T \in \mathbb{N}^*; \forall n \ge n_0; u_{n+T} = u_n$.

II. Suite arithmétique

Définition et Terme général

$(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si : $\forall n \ge n_0; u_{n+1} = u_n + r$.

Le terme général s’écrit : $\forall n \ge n_0; u_n = u_{n_0} + (n – n_0)r$.

Propriété caractéristique : $\forall p, q \ge n_0; u_q = u_p + (q – p)r$.

Somme des termes consécutifs

Pour $S_n = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n$, on a :

$S_n = \left[ \frac{u_p + u_n}{2} \right] \times (n – p + 1)$

(Premier terme + Dernier terme) / 2 × Nombre de termes.

Moyenne arithmétique

Si $a, b, c$ sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique, alors : $a + c = 2b$.

III. Suite géométrique

Définition et Terme général

$(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si : $\forall n \ge n_0; u_{n+1} = q \times u_n$.

Le terme général s’écrit : $\forall n \ge n_0; u_n = u_{n_0} \times q^{n – n_0}$.

Propriété caractéristique : $\forall p, q \ge n_0; u_q = u_p \times q^{q-p}$.

Somme des termes consécutifs

Pour $S_n = \sum_{i=p}^n u_i$ :

  • Si $q \neq 1$ : $S_n = u_p \times \frac{q^{n-p+1} – 1}{q – 1}$.
  • Si $q = 1$ : $S_n = u_p \times (n – p + 1)$.
Moyenne géométrique

Si $a, b, c$ sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique, alors : $a \times c = b^2$.

IV. Limites d’une suite numérique

4.1 Limite finie

Définition

On dit que la limite d’une suite $(u_n)$ est le nombre réel $l$ si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

$\lim_{n \to +\infty} u_n = l$
Limites usuelles
  • $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^i} = 0 \quad (i \in \mathbb{N}^*)$
  • $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$

4.2 Limite infinie

Définition
  • $\lim u_n = +\infty$ : Si tout intervalle $]A, +\infty[$ contient tous les termes à partir d’un certain rang.
  • $\lim u_n = -\infty$ : Si tout intervalle $]-\infty, A[$ contient tous les termes à partir d’un certain rang.

V. Convergence d’une suite

Convergente vs Divergente
  • Une suite est convergente si elle possède une limite finie.
  • Une suite est divergente si sa limite est infinie ou si elle n’admet pas de limite (ex: $u_n = (-1)^n$).
Propriété fondamentale
  • Toute suite croissante et majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Exemple d’étude

Soit $u_n = \frac{1}{n^3} + 7$ ($n \ge 1$).
1. $u_n$ est minorée par 0 car $1/n^3 > 0$.
2. $u_n$ est décroissante car $(n+1)^3 \ge n^3 \Rightarrow 1/(n+1)^3 \le 1/n^3$.
Conclusion : La suite est convergente.

VI. Opérations sur les limites

Les opérations sur les limites des suites sont identiques à celles des fonctions (Somme, Produit, Quotient).

Remarques
  • Si $\lim u_n = l$ et $u_n > 0$, alors $l \ge 0$.
  • Si $v_n \le u_n$ et $\lim u_n = l, \lim v_n = l’$, alors $l’ \le l$.

VII. Critères de convergence

Théorèmes de comparaison
  1. Théorème des Gendarmes : Si $v_n \le u_n \le w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = l$, alors $\lim u_n = l$.
  2. Si $v_n \ge \alpha u_n$ et $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$.
  3. Si $|v_n – l| \le \alpha u_n$ et $\lim u_n = 0$, alors $\lim v_n = l$.

VIII. Suites de formes particulières

8.1 Suite $u_n = q^n$

Propriétés
  • Si $q > 1$ : $\lim q^n = +\infty$.
  • Si $q = 1$ : $\lim q^n = 1$.
  • Si $-1 < q < 1$ : $\lim q^n = 0$.
  • Si $q \le -1$ : Pas de limite.

8.2 Suite $u_n = n^r$ ($r \in \mathbb{Q}^*$)

Propriétés
  • Si $r > 0$ : $\lim n^r = +\infty$.
  • Si $r < 0$ : $\lim n^r = 0$.

IX. Suite de la forme $v_n = f(u_n)$

Théorème

Si la suite $(u_n)$ converge vers $l$ et si la fonction $f$ est continue en $l$, alors la suite $v_n = f(u_n)$ converge vers $f(l)$.

$\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\lim_{n \to +\infty} u_n)$

X. Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$

Condition de convergence

Soit $(u_n)$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$. Si :

  • $f$ est continue sur un intervalle $I$.
  • $f(I) \subset I$ et $u_{n_0} \in I$.
  • La suite $(u_n)$ est convergente vers $l$.

Alors $l$ est une solution de l’équation $f(x) = x$.

Exemple complet

Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=\sqrt{6+u_n}$.
1. On montre par récurrence que $0 \le u_n \le 3$.
2. Monotonie : $u_{n+1}-u_n = \frac{(3-u_n)(2+u_n)}{\sqrt{6+u_n}+u_n} \ge 0$. Suite croissante.
3. Convergence : Croissante et majorée par 3, donc converge vers $l$.
4. Limite : $l = \sqrt{6+l} \Rightarrow l^2-l-6=0 \Rightarrow l=3$ (car $l \ge 0$).

Cours de Mathématiques – Chapitre : Suites Numériques – 2ème Année Bac Sciences Physiques