MATHÉMATIQUES : PROGRAMME DE LA 2ÈME ANNÉE DU BACCALAURÉAT
Fonctions Primitives
Chapitre 4 : Calcul Intégral et Recherche d’Antécédents de Dérivées
I. Définition et Existence
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que la fonction $F$ est une fonction primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ si :
- $F$ est dérivable sur $I$.
- Pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.
Si la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $I$, alors elle admet au moins une fonction primitive sur cet intervalle.
Remarque : La continuité est une condition suffisante, mais pas nécessaire.
Soit $f(x) = x^2 + 2x + 3$.
La fonction $F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ car $(\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x)’ = x^2 + 2x + 3$.
II. Propriétés des Primitives
Si $f$ admet une fonction primitive $F$ sur $I$, alors toutes les fonctions primitives de $f$ sur $I$ sont de la forme :
Soient $F$ et $G$ des primitives respectives de $f$ et $g$ sur $I$. Alors :
- $(F + G)$ est une primitive de $(f + g)$.
- $(\alpha F)$ est une primitive de $(\alpha f)$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$.
III. Tableau des Primitives Usuelles
Dans ce tableau, $c$ représente une constante réelle arbitraire.
| Fonction $f(x)$ | Intervalle $I$ | Primitive $F(x)$ |
|---|---|---|
| $a$ (constante) | $\mathbb{R}$ | $ax + c$ |
| $x^n$ ($n \in \mathbb{N}$) | $\mathbb{R}$ | $\frac{1}{n+1}x^{n+1} + c$ |
| $x^r$ ($r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$) | $]0, +\infty[$ | $\frac{1}{r+1}x^{r+1} + c$ |
| $\frac{1}{x^2}$ | $]0, +\infty[$ ou $]-\infty, 0[$ | $-\frac{1}{x} + c$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $]0, +\infty[$ | $2\sqrt{x} + c$ |
| $\sqrt[n]{x}$ | $[0, +\infty[$ | $\frac{n}{n+1}\sqrt[n]{x^{n+1}} + c$ |
| $\sin(ax + b)$ | $\mathbb{R}$ | $-\frac{1}{a}\cos(ax + b) + c$ |
| $\cos(ax + b)$ | $\mathbb{R}$ | $\frac{1}{a}\sin(ax + b) + c$ |
| $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ | $]-\pi/2, \pi/2[$ | $\tan(x) + c$ |
IV. Opérations sur les Primitives
L’utilisation de la composition des fonctions est essentielle pour trouver des primitives complexes.
| Forme de $f(x)$ | Primitive $F(x)$ |
|---|---|
| $u’ + v’$ | $u + v + c$ |
| $\alpha u’$ | $\alpha u + c$ |
| $u’ \cdot u^n$ ($n \in \mathbb{N}$) | $\frac{1}{n+1}u^{n+1} + c$ |
| $u’ \cdot u^r$ ($r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$) | $\frac{1}{r+1}u^{r+1} + c$ |
| $\frac{u’}{u^2}$ | $-\frac{1}{u} + c$ |
| $\frac{u’}{\sqrt{u}}$ | $2\sqrt{u} + c$ |
| $u’ \cdot \sqrt[n]{u}$ | $\frac{n}{n+1}\sqrt[n]{u^{n+1}} + c$ |
| $u’ \cdot \cos(u)$ | $\sin(u) + c$ |
| $u’ \cdot \sin(u)$ | $-\cos(u) + c$ |
V. Primitive vérifiant une condition initiale
Si $f$ admet une primitive sur $I$, alors pour tout $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$, il existe une unique fonction primitive $F_0$ de $f$ telle que :
Soit $f(x) = 2x^2 + x + 1 + \frac{1}{x^2}$ sur $]0, +\infty[$. Cherchons la primitive $F$ telle que $F(1) = 3$.
1. Primitives générales : $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x – \frac{1}{x} + k$.
2. Condition $F(1) = 3$ : $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1 – 1 + k = 3 \Rightarrow \frac{7}{6} + k = 3 \Rightarrow k = \frac{11}{6}$.
La solution est $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x – \frac{1}{x} + \frac{11}{6}$.
VI. Exercices d’Application Corrigés
Déterminer une primitive de $f(x) = 5x\sqrt[3]{3x^2+1}$.
Solution : Posons $u(x) = 3x^2 + 1$, alors $u'(x) = 6x$.
On peut écrire $f(x) = \frac{5}{6} \cdot (6x) \cdot (3x^2+1)^{1/3} = \frac{5}{6} u'(x) u^{1/3}$.
La primitive est $F(x) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{1/3 + 1} u^{1/3 + 1} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} u^{4/3} = \frac{5}{8}(3x^2+1)^{4/3}$.
D’où $F(x) = \frac{5}{8}\sqrt[3]{(3x^2+1)^4} + c$.
Soit $f(x) = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$. Trouver les réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = a + \frac{b}{(x+1)^2}$.
Solution : $f(x) = \frac{(x+1)^2 – 1}{(x+1)^2} = 1 – \frac{1}{(x+1)^2}$. Donc $a=1$ et $b=-1$.
Primitive : $F(x) = x + \frac{1}{x+1} + c$.
Déterminer une primitive de $f(x) = \cos^4(x)$.
Indication : On utilise $\cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2}$.
$f(x) = (\frac{1+\cos(2x)}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(2x) + \frac{1+\cos(4x)}{2})$.
$f(x) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$.
Primitive : $F(x) = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + c$.