MATHÉMATIQUES : PROGRAMME DE LA 2ÈME ANNÉE DU BACCALAURÉAT
Les Fonctions Logarithmes
Chapitre 5 : Logarithme Népérien et Logarithme de base a
I. Fonction Logarithme Népérienne
La fonction primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur l’intervalle $]0, +\infty[$ qui s’annule en $1$ est appelée fonction logarithme népérienne, notée $\ln$.
- $\forall x \in ]0, +\infty[, \ln'(x) = \frac{1}{x}$.
- $\ln(1) = 0$.
- La fonction $\ln$ est définie et continue sur $]0, +\infty[$.
- Elle est dérivable sur $]0, +\infty[$ et sa dérivée est strictement positive ($\frac{1}{x} > 0$), donc $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.
- $\ln(x) > 0 \Leftrightarrow x > 1$ et $\ln(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$.
- $\ln(a) = \ln(b) \Leftrightarrow a = b$ et $\ln(a) < \ln(b) \Leftrightarrow a < b$.
II. Propriétés Algébriques
Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, et pour tout rationnel $r$ :
- $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
- $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$
- $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b)$
- $\ln(a^r) = r\ln(a)$
- $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$
III. Limites Usuelles
Ces limites sont fondamentales pour l’étude des fonctions comportant des logarithmes.
| Limite | Résultat |
|---|---|
| $\lim_{x \to +\infty} \ln(x)$ | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to 0^+} \ln(x)$ | $-\infty$ |
| $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$ | $0$ |
| $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x)$ | $0$ |
| $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1}$ | $1$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x}$ | $1$ |
IV. Fonction du type $f(x) = \ln(u(x))$
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et strictement positive sur $I$, alors la fonction $f = \ln(u)$ est dérivable sur $I$ et :
De manière générale, les primitives de la fonction $x \mapsto \frac{u'(x)}{u(x)}$ sont les fonctions de la forme $x \mapsto \ln|u(x)| + c$.
V. Étude de la fonction $\ln$
La fonction $\ln$ possède une asymptote verticale d’équation $x=0$ et une branche parabolique de direction l’axe $(Ox)$ au voisinage de $+\infty$.
Comme $\ln$ est une bijection de $]0, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$, il existe un unique réel noté $e$ tel que $\ln(e) = 1$.
Valeur approchée : $e \approx 2,718$.
VI. Logarithme de base $a$
Soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$. La fonction logarithme de base $a$, notée $\log_a$, est définie sur $]0, +\infty[$ par :
Pour $a=10$, on obtient le logarithme décimal, noté $\log$.
- $\log(10) = 1$
- $\log(10^n) = n$
Calculer $L = \log(100) – \log(0,01)$.
Solution :
$L = \log(10^2) – \log(10^{-2}) = 2 – (-2) = 4$.