MATHÉMATIQUES : PROGRAMME DE LA 2ÈME ANNÉE DU BACCALAURÉAT
Fonctions Exponentielles
Chapitre Complet : Exponentielle Népérienne et de base a
I. Exponentielle Népérienne
La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0, +\infty[$. Elle réalise une bijection de $]0, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$.
Sa fonction réciproque est appelée fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$.
- $(\forall x \in \mathbb{R}), \ln(e^x) = x$
- $(\forall x > 0), e^{\ln(x)} = x$
- $e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2,718$
La fonction $x \mapsto e^x$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- $e^x = e^y \Leftrightarrow x = y$
- $e^x < e^y \Leftrightarrow x < y$
- $(\forall x \in \mathbb{R}), e^x > 0$
II. Propriétés Algébriques
Pour tous réels $x$ et $y$, et tout rationnel $r$ :
- $e^{x+y} = e^x \times e^y$
- $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$
- $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$
- $(e^x)^r = e^{rx}$
III. Limites Usuelles
Ces limites sont essentielles pour déterminer le comportement des fonctions exponentielles aux bornes de leur domaine.
| Limite | Résultat |
|---|---|
| $\lim_{x \to +\infty} e^x$ | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to -\infty} e^x$ | $0$ |
| $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n}$ | $+\infty$ ($n \in \mathbb{N}^*$) |
| $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x$ | $0$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x}$ | $1$ |
IV. Dérivation et Primitives
La fonction $x \mapsto e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(e^x)’ = e^x$.
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et :
Une primitive de la fonction $x \mapsto u'(x) e^{u(x)}$ est la fonction $x \mapsto e^{u(x)} + C$.
V. Étude de Fonctions
La courbe représentative de l’exponentielle ($C_{exp}$) et celle du logarithme ($C_{\ln}$) sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.
- $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ : La droite $y = 0$ (axe des abscisses) est une asymptote horizontale au voisinage de $-\infty$.
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ : La courbe admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$.
VI. Exponentielle de base $a$
Soit $a > 0$ et $a \neq 1$. On appelle fonction exponentielle de base $a$, notée $\exp_a$, la fonction :
- $(a^x)’ = (\ln a) a^x$
- Si $a > 1$, la fonction $x \mapsto a^x$ est strictement croissante.
- Si $0 < a < 1$, la fonction $x \mapsto a^x$ est strictement décroissante.