MATHÉMATIQUES : PROGRAMME DE LA 2ÈME ANNÉE DU BACCALAURÉAT
Calcul Intégral
Chapitre Complet : Intégration, Aires et Volumes
I. Intégrale d’une fonction continue
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux éléments de $I$, et $F$ une fonction primitive de $f$ sur $I$.
Le nombre réel $F(b) – F(a)$ est appelé intégrale de $f$ de $a$ à $b$. On le note :
Toute fonction continue sur un segment $[a, b]$ est intégrable sur ce segment.
Remarque : La variable $x$ est dite « muette », on peut écrire $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(t) dt$.
II. Interprétation Géométrique
Si $f$ est une fonction continue et positive sur $[a, b]$, l’intégrale $\int_{a}^{b} f(x) dx$ représente l’aire du domaine délimité par :
- La courbe $(C_f)$ de la fonction $f$.
- L’axe des abscisses.
- Les droites d’équations $x = a$ et $x = b$.
L’unité d’aire (u.a.) est définie par $1 \, \text{u.a.} = \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|$.
III. Propriétés de l’Intégrale
- Linéarité : $\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx$ et $\int_{a}^{b} \alpha f(x) dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx$.
- Relation de Chasles : $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$.
- Inversion des bornes : $\int_{b}^{a} f(x) dx = -\int_{a}^{b} f(x) dx$.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, b]$ ($a \le b$) :
- Si $f \ge 0$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \ge 0$.
- Si $f \le g$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} g(x) dx$.
- $|\int_{a}^{b} f(x) dx| \le \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.
IV. Valeur Moyenne
Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ ($a < b$). Le nombre réel $\mu$ défini par :
est appelé la valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$. Il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \mu$.
V. Techniques de Calcul
1. Utilisation des primitives usuelles
On utilise le tableau des primitives pour trouver directement $F$.
| Forme de $f(x)$ | Primitive $F(x)$ |
|---|---|
| $u’ u^n$ ($n \neq -1$) | $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ |
| $\frac{u’}{u^2}$ | $-\frac{1}{u}$ |
| $\frac{u’}{\sqrt{u}}$ | $2\sqrt{u}$ |
| $u’ e^u$ | $e^u$ |
| $\frac{u’}{u}$ | $\ln|u|$ |
2. Intégration par parties (I.P.P)
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables dont les dérivées sont continues sur $[a, b]$ :
Astuce ALPES : Pour choisir $v(x)$, on suit l’ordre Arcsin/Arccos, Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus.
VI. Calcul des Volumes
Le volume $V$ du solide engendré par la rotation de la courbe $(C_f)$ autour de l’axe des abscisses sur l’intervalle $[a, b]$ est :
L’unité de volume (u.v.) est $1 \, \text{u.v.} = \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\| \times \|\vec{k}\|$.
Volume engendré par $f(x) = \sqrt{x}$ entre $0$ et $4$ :
$V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{4} x dx = \pi [\frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = 8\pi$ u.v.