MATHÉMATIQUES : PROBABILITÉS ET STATISTIQUES (2BAC PC & SVT)
Les Probabilités
Chapitre Complet : Conditionnement, Variables Aléatoires et Lois Usuelles
I. Rappels et Vocabulaire
- Univers ($\Omega$) : Ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.
- Événement : Toute partie de $\Omega$.
- Équiprobabilité : Quand toutes les issues ont la même chance de se produire :
$P(A) = \frac{Card(A)}{Card(\Omega)}$
II. Probabilités Conditionnelles
Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $P(A) \neq 0$. La probabilité que l’événement $B$ se réalise sachant que $A$ est réalisé est notée $P_A(B)$ ou $P(B|A)$ :
Soit $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ une partition de l’univers $\Omega$. Pour tout événement $B$ :
III. Indépendance
Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si et seulement si :
Cela équivaut à $P_A(B) = P(B)$ (si $P(A) \neq 0$).
IV. Variables Aléatoires
Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui à chaque issue de $\Omega$ associe un nombre réel. Sa loi de probabilité est l’ensemble des couples $(x_i, P(X=x_i))$.
- Espérance Mathématique : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$
- Variance : $V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2$
- Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
V. Loi Binomiale
Un schéma de Bernoulli consiste à répéter $n$ fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli (épreuve à deux issues : succès $S$ avec probabilité $p$ et échec $\bar{S}$ avec probabilité $1-p$).
La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès suit la loi binomiale $B(n, p)$. La probabilité d’obtenir exactement $k$ succès est :
Propriétés : $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$.
On lance 3 fois une pièce équilibrée ($p=1/2$, $n=3$). Probabilité d’avoir exactement 2 faces :
$P(X=2) = C_3^2 \times (\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2})^1 = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$.