Calculer les limites suivantes :

1. \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{2x^2 – 5x – 3}\)
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+4} – 2}{x^2}\)
3. \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x – 2}{\sqrt{x} – 1}\)

Calculer les limites suivantes :

1. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos(x)}{x \sin(x)}\)
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\tan(2x)}\)

Déterminer la valeur du réel \(k\) pour que la fonction \(f\) soit continue en \(x_0 = 1\) :

Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x) = \frac{x^2 – 4}{|x| – 2}\).

1. Déterminer \(D_g\), l’ensemble de définition de \(g\).
2. Montrer que \(g\) admet un prolongement par continuité en \(x_0 = 2\). Définir ce prolongement.

1. Montrer que l’équation \(x^3 + 4x – 1 = 0\) admet au moins une solution \(\alpha\) dans l’intervalle \(]0, 1[\).
2. Montrer que cette solution est unique sur \(\mathbb{R}\).

Soit \(f(x) = \frac{2x-1}{x+1}\). Déterminer les images des intervalles suivants par la fonction \(f\) :

1. \(J_1 = [0, 2]\)
2. \(J_2 = ]-1, 3]\)
3. \(J_3 = [4, +\infty[\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(I = [1, +\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{x-1}\).

1. Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(I\) vers un intervalle \(J\) à préciser.
2. Déterminer l’expression de la fonction réciproque \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x \in J\).

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

1. \(x^4 = 16\)
2. \(\sqrt[3]{x} = 2\)
3. \(x^3 + 27 = 0\)

Calculer les limites suivantes :

1. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x} + 1}{\sqrt[3]{x} – 1}\)
2. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2} – x\)

Soit \(f(x) = x^2 + x\). On considère la restriction de \(f\) à l’intervalle \(I = [0, +\infty[\).

1. Démontrer que cette restriction admet une fonction réciproque \(f^{-1}\).
2. Calculer \((f^{-1})'(2)\) sans déterminer l’expression de \(f^{-1}\).