Étudier la dérivabilité de la fonction \( f \) au point \( x_0 \) et interpréter géométriquement le résultat :

1. \( f(x) = x|x-2| \) en \( x_0 = 2 \).
2. \( f(x) = \sqrt{x^2+x} \) en \( x_0 = 0 \) (à droite).
3. \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) pour \( x \neq 0 \) et \( f(0)=1 \) en \( x_0 = 0 \).

Calculer la dérivée \( f'(x) \) pour chacune des fonctions suivantes sur leur domaine de dérivabilité :

1. \( f(x) = (3x^2 – 5x + 1)^4 \)
2. \( f(x) = \frac{2x+3}{\sqrt{x^2+1}} \)
3. \( f(x) = \cos^3(2x+1) \)
4. \( f(x) = \sqrt[3]{x^2-x} \)

Soit \( f \) la fonction définie par \( f(x) = \frac{x^2-1}{x+2} \).

1. Déterminer le domaine de définition \( D_f \).
2. Déterminer l’équation de la tangente \( (T) \) à la courbe \( C_f \) au point d’abscisse \( x_0 = 0 \).
3. Existe-t-il des points de \( C_f \) où la tangente est parallèle à la droite d’équation \( y = x \) ?

Dresser le tableau de variations complet de la fonction \( g \) définie par :

1. Calculer les limites aux bornes de \( D_g \).
2. Calculer \( g'(x) \) et étudier son signe.
3. En déduire les extremums locaux de \( g \).

Soit \( h(x) = \frac{x^3}{x-1} \). On note \( C_h \) sa courbe représentative.

1. Déterminer \( h »(x) \), la dérivée seconde de \( h \).
2. Étudier la concavité de la courbe \( C_h \).
3. Déterminer les coordonnées des éventuels points d’inflexion de \( C_h \).

Étudier les branches infinies de la courbe \( C_f \) de la fonction \( f \) dans les cas suivants :

1. \( f(x) = \sqrt{4x^2+x-1} \)
2. \( f(x) = x + 1 + \frac{1}{x-2} \)
3. \( f(x) = \frac{x^3+1}{x^2} \)

1. Montrer que la fonction \( f(x) = x^3-3x+1 \) vérifie les hypothèses du théorème de Rolle sur un intervalle que vous préciserez pour justifier l’existence d’un point \( c \) tel que \( f'(c)=0 \).
2. En utilisant le Théorème des Accroissements Finis (T.A.F), montrer que pour tout \( x > 0 \) : \[ \frac{x}{x+1} < \ln(1+x) < x \quad \text{(On admettra l'usage de ln ici pour l'exercice)} \]

Soit \( f(x) = \sqrt{x^2-4x+3} \).

1. Déterminer \( D_f \).
2. Étudier la dérivabilité de \( f \) aux bornes de son domaine.
3. Calculer \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations.
4. Montrer que la droite d’équation \( x=2 \) est un axe de symétrie pour \( C_f \).

On considère la fonction \( u(x) = \cos(x) \) et \( v(x) = x^2+x \).

1. Définir la fonction \( w = v \circ u \).
2. Calculer \( w'(x) \) en utilisant la formule de la dérivée d’une fonction composée.
3. Vérifier le résultat en calculant directement la dérivée de l’expression de \( w(x) \).

Soit \( f(x) = x^3 + 2x – 1 \).

1. Montrer que \( f \) est une bijection de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \).
2. Calculer \( f(1) \).
3. Justifier que la fonction réciproque \( f^{-1} \) est dérivable en \( y_0 = 2 \).
4. Calculer \( (f^{-1})'(2) \).