Déterminer l’ensemble de définition \( D_f \) pour chacune des fonctions suivantes :

1. \( f(x) = \ln(3x – 6) \)
2. \( f(x) = \ln(x^2 – 4) \)
3. \( f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{2-x}\right) \)
4. \( f(x) = \frac{1}{\ln(x)} \)

Simplifier les expressions suivantes sans calculatrice :

1. \( A = \ln(e^2) + \ln(\sqrt{e}) – \ln(1) \)
2. \( B = 2\ln(3) + \ln(4) – \ln(36) \)
3. \( C = \ln(2 + \sqrt{3}) + \ln(2 – \sqrt{3}) \)
4. Exprimer en fonction de \(\ln(2)\) et \(\ln(3)\) l’expression : \( D = \ln(72) \).

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

1. \( \ln(x) = 2 \)
2. \( \ln(x+3) + \ln(x+5) = \ln(15) \)
3. \( (\ln(x))^2 – 3\ln(x) + 2 = 0 \)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :

1. \( \ln(2x – 1) \le 0 \)
2. \( \ln(x^2) > \ln(x+2) \)
3. \( \frac{\ln(x) – 1}{\ln(x) + 2} \ge 0 \)

Calculer les limites suivantes aux bornes de leur ensemble de définition :

1. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x – \ln(x) \)
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x\ln(x) + x + 1 \)
3. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} \)
4. \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} \)

Calculer la fonction dérivée \( f'(x) \) pour chaque cas :

1. \( f(x) = x^2\ln(x) \)
2. \( f(x) = \ln(x^2 + x + 1) \)
3. \( f(x) = \ln\left(\frac{3x+1}{x}\right) \)
4. \( f(x) = \frac{1}{\ln(x)} \)

Soit \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) définie sur \( ]0, +\infty[ \).

1. Calculer les limites de \( f \) en \( 0^+ \) et en \( +\infty \).
2. Dresser le tableau de variations de \( f \).
3. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe \( C_f \) au point d’abscisse \( x_0 = e \).

Déterminer une primitive \( F \) pour chaque fonction sur l’intervalle donné :

1. \( f(x) = \frac{1}{x+1} \) sur \( ]-1, +\infty[ \)
2. \( f(x) = \frac{2x}{x^2+4} \) sur \(\mathbb{R}\)
3. \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) sur \( ]0, +\infty[ \) (Indice : forme \( u’u \))

On considère la fonction \( \log_{10} \) (logarithme décimal).

1. Calculer \( \log_{10}(1000) \) et \( \log_{10}(0.01) \).
2. Montrer que pour tout \( x > 0 \), \( \log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} \).
3. Résoudre l’équation \( \log_2(x) = 3 \).

Soit \( g(x) = x – 1 – \ln(x) \) pour \( x \in ]0, +\infty[ \).

1. Étudier les variations de \( g \) et en déduire le signe de \( g(x) \) sur \( ]0, +\infty[ \).
2. Soit \( f(x) = \frac{x-1}{\ln(x)} \) pour \( x \in ]0, 1[ \cup ]1, +\infty[ \).
3. Calculer les limites de \( f \) aux bornes de son domaine.
4. Montrer que \( f'(x) \) a le même signe que \( g(x) \). Conclure sur les variations de \( f \).