Simplifier les expressions suivantes en utilisant les propriétés de la fonction exponentielle :

1. \( A = e^3 \times e^{-5} \times (e^2)^4 \)
2. \( B = \frac{e^x \times e^{2-x}}{e^3} \)
3. \( C = \frac{(e^x)^2 – 1}{e^x + 1} \)
4. \( D = \sqrt{e^{4x}} \times e^{-x} \)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

1. \( e^{2x-1} = 1 \)
2. \( e^{x^2} = e^{x+2} \)
3. \( e^x – 5 + 4e^{-x} = 0 \) (Indice : poser \( X = e^x \))
4. \( \ln(e^x – 2) = 0 \)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :

1. \( e^{3x+2} > e \)
2. \( e^x(e^x – 3) \le 0 \)
3. \( \frac{e^x – 1}{e^x + 2} > 0 \)

Calculer les limites suivantes :

1. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x – x^2 \)
2. \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x+1)e^x \)
3. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} \)
4. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{x} \)

Déterminer la fonction dérivée \( f'(x) \) pour chaque cas :

1. \( f(x) = (x^2 – 1)e^x \)
2. \( f(x) = e^{x^2 + 3x} \)
3. \( f(x) = \frac{e^x – 1}{e^x + 1} \)
4. \( f(x) = e^{\frac{1}{x}} \)

Déterminer une primitive \( F \) pour chaque fonction sur \(\mathbb{R}\) :

1. \( f(x) = e^{3x} \)
2. \( f(x) = (2x+1)e^{x^2+x} \)
3. \( f(x) = \frac{e^x}{\sqrt{e^x + 1}} \)

Soit \( f(x) = (x-1)e^x \).

1. Déterminer les limites de \( f \) en \( -\infty \) et \( +\infty \).
2. Dresser le tableau de variations de \( f \).
3. Préciser l’équation de la tangente à \( C_f \) au point d’abscisse \( 0 \).
4. Étudier les branches infinies de \( C_f \).

Soit \( g(x) = e^{-x^2} \).

1. Calculer \( g'(x) \) et \( g »(x) \).
2. Étudier la concavité de la courbe de \( g \).
3. Déterminer les points d’inflexion de \( C_g \).

On considère la fonction \( h(x) = 2^x \).

1. Exprimer \( h(x) \) à l’aide de la fonction exponentielle népérienne.
2. Calculer la dérivée de \( h \).
3. Résoudre l’équation \( 2^x = 16 \).

Soit \( f(x) = \frac{x}{1 + e^{\frac{1}{x}}} \) pour \( x \neq 0 \) et \( f(0) = 0 \).

1. Étudier la continuité de \( f \) en \( 0 \).
2. Étudier la dérivabilité de \( f \) en \( 0 \) à droite.
3. Calculer \( f'(x) \) pour \( x \neq 0 \).
4. Déterminer l’asymptote oblique à \( C_f \) au voisinage de \( +\infty \).