Calculer les intégrales suivantes :

1. \( I_1 = \int_{1}^{2} (3x^2 – 2x + 1) \, dx \)
2. \( I_2 = \int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} \, dx \)
3. \( I_3 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx \)

Soit \( f \) une fonction continue sur \( [0, 2] \).

1. Sachant que \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3 \) et \( \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 5 \), calculer \( \int_{1}^{2} f(x) \, dx \).
2. Calculer \( \int_{0}^{1} (2e^x – 3x^2) \, dx \).
3. Montrer que \( \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 \) si \( f \) est une fonction impaire.

Calculer les intégrales suivantes :

1. \( J_1 = \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+1} \, dx \)
2. \( J_2 = \int_{0}^{1} xe^{x^2} \, dx \)
3. \( J_3 = \int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \, dx \)

En utilisant une intégration par parties, calculer :

1. \( K_1 = \int_{0}^{1} xe^x \, dx \)
2. \( K_2 = \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx \)
3. \( K_3 = \int_{0}^{\pi} x\sin(x) \, dx \)

Soit \( L = \int_{0}^{1} x^2e^x \, dx \).

1. Calculer \( L \) en effectuant deux intégrations par parties successives.
2. En déduire une primitive de la fonction \( g(x) = x^2e^x \).

1. Déterminer la valeur moyenne de la fonction \( f(x) = \sqrt{x} \) sur l’intervalle \( [0, 4] \).
2. Démontrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \) : \( 0 \le \int_{0}^{1} \frac{x^n}{1+x} \, dx \le \frac{1}{n+1} \).
3. En déduire la limite de la suite \( I_n = \int_{0}^{1} \frac{x^n}{1+x} \, dx \) quand \( n \to +\infty \).

Soit \( A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{\cos(x)+\sin(x)} \, dx \) et \( B = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)}{\cos(x)+\sin(x)} \, dx \).

1. Calculer \( A + B \).
2. Calculer \( A – B \).
3. En déduire les valeurs respectives de \( A \) et \( B \).

Soit \( f(x) = x^2 – 1 \) définie sur \( [0, 2] \).

1. Étudier le signe de \( f(x) \) sur \( [0, 2] \).
2. Calculer l’aire du domaine délimité par la courbe \( C_f \), l’axe des abscisses et les droites \( x=0 \) et \( x=2 \) (en unités d’aire).

On considère les fonctions \( f(x) = e^x \) et \( g(x) = e^{-x} \).

1. Montrer que \( f(x) \ge g(x) \) pour tout \( x \ge 0 \).
2. Calculer l’aire du domaine compris entre les courbes \( C_f \) et \( C_g \) et les droites \( x=0 \) et \( x=\ln(2) \).

Soit \( f(x) = \sqrt{x} \) sur \( [0, 1] \).

1. Calculer le volume du solide engendré par la rotation de la courbe \( C_f \) autour de l’axe des abscisses entre \( x=0 \) et \( x=1 \).
2. Rappel : La formule du volume est \( V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx \).