Abscisse curviligne désigne le paramètre géométrique naturel d’une courbe régulière. Elle mesure la longueur parcourue le long de l’arc et permet un paramétrage à vitesse unitaire.

Définitions formelles de l’abscisse curviligne

Arc paramétré de classe $\mathcal{C}^1$

Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle et soit

$$ \gamma : I \to \mathbb{R}^n, \qquad t \mapsto \gamma(t). $$

On suppose que $\gamma$ est de classe $\mathcal{C}^1$.

Régularité

L’arc $\gamma$ est dit régulier si

$$ \forall t\in I,\qquad \gamma'(t)\neq 0. $$

De manière équivalente,

$$ \forall t\in I,\qquad \|\gamma'(t)\|>0. $$

Définition de l’abscisse curviligne

Fixons $t_0\in I$. L’abscisse curviligne issue de $t_0$ est la fonction

$$ s : I \to \mathbb{R}, \qquad s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\gamma'(u)\|\,du. $$

Cette quantité représente la longueur orientée de l’arc entre $\gamma(t_0)$ et $\gamma(t)$.

Interprétation géométrique

Si $t\ge t_0$, alors

$$ s(t)=L\big(\gamma_{|[t_0,t]}\big). $$

Si $t\le t_0$, alors

$$ s(t)=-L\big(\gamma_{|[t,t_0]}\big). $$

Ainsi, $|s(t)|$ est une longueur d’arc.

Propriétés fondamentales de l’abscisse curviligne

Dérivée de $s$

Comme $\|\gamma'(u)\|$ est continue, le théorème fondamental de l’analyse donne

$$ s'(t)=\|\gamma'(t)\|. $$

Par conséquent, si l’arc est régulier, alors

$$ \forall t\in I,\qquad s'(t)>0. $$

Monotonie

La fonction $s$ est strictement croissante sur $I$. Donc :

$$ t_1Elle est donc injective.

Longueur entre deux paramètres

Pour tous $a,b\in I$ avec $a $$ L\big(\gamma_{|[a,b]}\big)=\int_a^b \|\gamma'(u)\|\,du=s(b)-s(a). $$

Cette formule donne un sens géométrique direct à la différence d’abscisses curvilignes.

Paramétrage par l’abscisse curviligne

Comme $s$ est strictement croissante, elle admet une réciproque sur son image $J=s(I)$. On peut alors définir

$$ \widetilde{\gamma} : J \to \mathbb{R}^n,\qquad \widetilde{\gamma}(\sigma)=\gamma\big(t(\sigma)\big), $$

où $t=s^{-1}$.

Ce nouveau paramétrage est appelé paramétrage par l’abscisse curviligne.

Théorèmes sur l’abscisse curviligne

Théorème d’existence du paramétrage naturel

Soit $\gamma:I\to\mathbb{R}^n$ un arc régulier de classe $\mathcal{C}^1$. Alors la fonction

$$ s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\gamma'(u)\|\,du $$

est de classe $\mathcal{C}^1$, strictement croissante, et réalise un difféomorphisme de $I$ sur $J=s(I)$ si $\gamma’$ ne s’annule jamais.

Preuve :

La fonction $u\mapsto \|\gamma'(u)\|$ est continue. Donc $s$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et

$$ s'(t)=\|\gamma'(t)\|. $$

Comme $\gamma$ est régulière,

$$ \forall t\in I,\qquad \|\gamma'(t)\|>0. $$

Donc

$$ \forall t\in I,\qquad s'(t)>0. $$

Par conséquent, $s$ est strictement croissante. Elle est donc injective. Son image $J=s(I)$ est un intervalle.

Comme $s'(t)\neq 0$ pour tout $t$, le théorème d’inversion locale s’applique. La réciproque $t=s^{-1}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J$. Ainsi, $s$ est un difféomorphisme de $I$ sur $J$. $\blacksquare$

Théorème de la vitesse unitaire

Dans le paramétrage par l’abscisse curviligne, la vitesse a pour norme $1$ :

$$ \left\|\frac{d\widetilde{\gamma}}{d\sigma}(\sigma)\right\|=1. $$

Preuve :

On a

$$ \widetilde{\gamma}(\sigma)=\gamma(t(\sigma)). $$

Par dérivation en chaîne,

$$ \widetilde{\gamma}'(\sigma)=\gamma'(t(\sigma))\,t'(\sigma). $$

Or $s(t(\sigma))=\sigma$. En dérivant cette identité, on obtient

$$ s'(t(\sigma))\,t'(\sigma)=1. $$

Comme $s'(t)=\|\gamma'(t)\|$, il vient

$$ \|\gamma'(t(\sigma))\|\,t'(\sigma)=1. $$

Donc

$$ t'(\sigma)=\frac{1}{\|\gamma'(t(\sigma))\|}. $$

Par suite,

$$ \widetilde{\gamma}'(\sigma)=\frac{\gamma'(t(\sigma))}{\|\gamma'(t(\sigma))\|}. $$

En prenant la norme,

$$ \left\|\widetilde{\gamma}'(\sigma)\right\| = \frac{\|\gamma'(t(\sigma))\|}{\|\gamma'(t(\sigma))\|} =1. $$

Le paramétrage par l’abscisse curviligne est donc un paramétrage unitaire. $\blacksquare$

Conséquence : vecteur tangent unitaire

Dans un paramétrage par l’abscisse curviligne, le vecteur tangent unitaire est

$$ T(\sigma)=\widetilde{\gamma}'(\sigma). $$

Dans un paramétrage quelconque régulier, il s’écrit

$$ T(t)=\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}. $$

Exemples d’abscisse curviligne

Exemple 1 : droite paramétrée uniformément

Considérons

$$ \gamma(t)=(at+b,ct+d),\qquad t\in\mathbb{R}, $$

avec $(a,c)\neq(0,0)$.

Alors

$$ \gamma'(t)=(a,c), \qquad \|\gamma'(t)\|=\sqrt{a^2+c^2}. $$

Si l’on choisit $t_0=0$, alors

$$ s(t)=\int_0^t \sqrt{a^2+c^2}\,du =t\sqrt{a^2+c^2}. $$

Donc

$$ t=\frac{s}{\sqrt{a^2+c^2}}. $$

Le paramétrage par l’abscisse curviligne est

$$ \widetilde{\gamma}(s)=\left(a\frac{s}{\sqrt{a^2+c^2}}+b,\;c\frac{s}{\sqrt{a^2+c^2}}+d\right). $$

Exemple 2 : cercle de rayon $R$

Considérons

$$ \gamma(t)=(R\cos t,R\sin t),\qquad t\in\mathbb{R},\quad R>0. $$

On calcule

$$ \gamma'(t)=(-R\sin t,R\cos t), $$

donc

$$ \|\gamma'(t)\|=\sqrt{R^2\sin^2 t+R^2\cos^2 t}=R. $$

Avec $t_0=0$, on obtient

$$ s(t)=\int_0^t R\,du=Rt. $$

Ainsi,

$$ t=\frac{s}{R}. $$

Le paramétrage par l’abscisse curviligne devient

$$ \widetilde{\gamma}(s)=\left(R\cos\frac{s}{R},R\sin\frac{s}{R}\right). $$

On vérifie alors

$$ \left\|\widetilde{\gamma}'(s)\right\|=1. $$

Exemple 3 : hélice circulaire

Considérons

$$ \gamma(t)=(R\cos t,R\sin t,ht), \qquad R>0,\ h\in\mathbb{R}. $$

Alors

$$ \gamma'(t)=(-R\sin t,R\cos t,h), $$

et

$$ \|\gamma'(t)\| = \sqrt{R^2\sin^2 t+R^2\cos^2 t+h^2} = \sqrt{R^2+h^2}. $$

Si $t_0=0$, alors

$$ s(t)=t\sqrt{R^2+h^2}. $$

Donc

$$ t=\frac{s}{\sqrt{R^2+h^2}}. $$

On en déduit

$$ \widetilde{\gamma}(s)=\left( R\cos\frac{s}{\sqrt{R^2+h^2}}, R\sin\frac{s}{\sqrt{R^2+h^2}}, \frac{h\,s}{\sqrt{R^2+h^2}} \right). $$

Exemple 4 : parabole

Considérons

$$ \gamma(t)=(t,t^2),\qquad t\in\mathbb{R}. $$

Alors

$$ \gamma'(t)=(1,2t), \qquad \|\gamma'(t)\|=\sqrt{1+4t^2}. $$

Avec $t_0=0$, l’abscisse curviligne vaut

$$ s(t)=\int_0^t \sqrt{1+4u^2}\,du. $$

Une primitive est

$$ \int \sqrt{1+4u^2}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{1+4u^2} + \frac{1}{4}\ln\left|2u+\sqrt{1+4u^2}\right| + C. $$

Donc

$$ s(t) = \frac{t}{2}\sqrt{1+4t^2} + \frac{1}{4}\ln\left|2t+\sqrt{1+4t^2}\right|. $$

Ici, l’expression inverse $t=t(s)$ n’est pas élémentaire. Cela montre qu’un paramétrage par abscisse curviligne existe toujours localement, mais n’admet pas toujours une formule simple.

Contre-exemple et limite de la notion

Point singulier

Considérons

$$ \gamma(t)=(t^3,t^2). $$

Alors

$$ \gamma'(t)=(3t^2,2t), $$

et en $t=0$,

$$ \gamma'(0)=(0,0). $$

L’arc n’est pas régulier en $0$. Donc la fonction

$$ s(t)=\int_{0}^{t}\|\gamma'(u)\|\,du $$

est bien définie comme longueur, mais elle ne fournit pas un paramètre régulier au voisinage de $0$ au sens du théorème précédent. En effet,

$$ s'(0)=\|\gamma'(0)\|=0. $$

La réciproque locale n’est alors pas garantie par le théorème d’inversion.

Propriétés complémentaires utiles

Indépendance du choix initial à une constante près

Si l’on choisit un autre point initial $t_1\in I$, alors l’abscisse curviligne associée

$$ s_1(t)=\int_{t_1}^{t}\|\gamma'(u)\|\,du $$

vérifie

$$ s_1(t)=s(t)-s(t_1). $$

Les différentes abscisses curvilignes diffèrent donc d’une constante additive.

Orientation

Si l’on change le sens du paramètre, l’abscisse curviligne change de signe. Cependant, la longueur géométrique reste

$$ L=\int_a^b \|\gamma'(u)\|\,du \ge 0. $$

Lien avec la longueur d’arc

Pour une courbe paramétrée par l’abscisse curviligne $\sigma$, on a directement

$$ L\big(\widetilde{\gamma}_{|[\sigma_1,\sigma_2]}\big)=\sigma_2-\sigma_1 \qquad \text{si } \sigma_1\le \sigma_2. $$

Ainsi, le paramètre coïncide exactement avec la longueur parcourue.

Résumé des formules essentielles

  • $\displaystyle s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\gamma'(u)\|\,du$.
  • $\displaystyle s'(t)=\|\gamma'(t)\|$.
  • Si $\gamma$ est régulière, alors $s'(t)>0$.
  • $\displaystyle L\big(\gamma_{|[a,b]}\big)=s(b)-s(a)$ pour $a
  • $\displaystyle \widetilde{\gamma}'(\sigma)=\frac{\gamma'(t(\sigma))}{\|\gamma'(t(\sigma))\|}$.
  • $\displaystyle \left\|\widetilde{\gamma}'(\sigma)\right\|=1$.