Introduction : Qualifier la Nature d’une Action
Toutes les actions de groupe ne se ressemblent pas. Pour mieux les comprendre et les classer, on utilise des qualificatifs qui décrivent leurs propriétés fondamentales. Parmi les plus importants, les notions de transitivité et de fidélité permettent de caractériser la manière dont le groupe interagit avec l’ensemble.
La transitivité décrit la capacité du groupe à « mélanger » l’ensemble, tandis que la fidélité décrit la « précision » de l’action, c’est-à-dire si des éléments distincts du groupe correspondent bien à des transformations distinctes de l’ensemble. Comme nous le verrons, ces deux propriétés sont indépendantes et leur combinaison donne un aperçu précis de la relation entre le groupe et l’ensemble sur lequel il agit.
1. L’Action Transitive
Une action est transitive si le groupe peut déplacer n’importe quel élément de l’ensemble vers n’importe quel autre. L’ensemble apparaît comme un tout homogène du point de vue du groupe.
Une action d’un groupe $G$ sur un ensemble $X$ est dite transitive si elle ne possède qu’une seule orbite.
De manière équivalente, pour tout couple d’éléments $(x, y) \in X \times X$, il existe (au moins) un élément $g \in G$ tel que $y = g \star x$.
- Exemple : L’action de $\mathcal{S}_n$ sur $\{1, …, n\}$ est transitive.
- Contre-exemple : Le groupe $G = \{Id, (1 \ 2)(3 \ 4)\}$ agissant sur $\{1,2,3,4\}$. L’orbite de 1 est $\{1,2\}$ et celle de 3 est $\{3,4\}$. Il y a deux orbites, l’action n’est pas transitive.
2. L’Action Fidèle
Une action est fidèle si chaque élément du groupe (autre que l’identité) a un effet visible sur l’ensemble. Autrement dit, il n’y a pas d’élément « inutile » qui agirait comme l’identité sans en être une.
Une action d’un groupe $G$ sur un ensemble $X$ est dite fidèle si le seul élément de $G$ qui fixe tous les points de $X$ est l’élément neutre $e$.
De manière équivalente, le noyau de l’action, défini comme $ \ker(\Phi) = \{g \in G \mid \forall x \in X, g \star x = x \} $, est réduit au sous-groupe trivial $\{e\}$. Cela signifie que l’homomorphisme $\rho: G \to \mathcal{S}(X)$ associé à l’action est injectif.
- Exemple : L’action par translation à gauche de $G$ sur lui-même est fidèle. Si $g \cdot x = x$ pour tout $x$, alors en particulier pour $x=e$, on a $g \cdot e = e$, donc $g=e$.
- Contre-exemple : Soit $G = D_4$ (isométries du carré) agissant sur l’ensemble $X$ des deux diagonales. La rotation de 180°, $R_{180}$, préserve chaque diagonale (elle retourne juste leurs sommets). L’identité $R_0$ fait de même. Mais $R_{180} \neq R_0$. L’action n’est donc pas fidèle. Le noyau de cette action est $\{R_0, R_{180}\}$.
Indépendance des Notions
Il est important de comprendre que transitivité et fidélité sont deux propriétés indépendantes. Une action peut posséder l’une, l’autre, les deux ou aucune.
- Transitive et Fidèle : L’action du groupe symétrique $\mathcal{S}_n$ ($n \ge 2$) sur $X=\{1, …, n\}$. Elle est transitive (une seule orbite) et fidèle (seule l’identité fixe tous les points). L’action de $G$ sur lui-même par translation est un autre exemple archétypal.
- Transitive mais Non Fidèle : Soit $H$ un sous-groupe distingué de $G$ non trivial. L’action de $G$ sur l’ensemble des classes $X=G/H$ par translation ($g \star aH = (ga)H$) est transitive. Cependant, le noyau de cette action est précisément $H$. Comme $H$ n’est pas trivial, l’action n’est pas fidèle.
- Fidèle mais Non Transitive : L’action du groupe $G = \{Id, (1 \ 2), (3 \ 4), (1 \ 2)(3 \ 4)\}$ sur $X=\{1,2,3,4\}$. L’action n’est pas transitive car il y a deux orbites $\{1,2\}$ et $\{3,4\}$. Mais elle est fidèle car le seul élément qui fixe les quatre points à la fois est l’identité.
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Ni Fidèle, Ni Transitive : Considérons le groupe $G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ agissant sur l’ensemble $X = \{1,2,3,4\}$. Définissons l’action de $(a,b) \in G$ sur $x \in X$ par : $(a,b) \star x = x$ si $a=0$, et $(a,b) \star x = (1 \ 2)x$ si $a=1$.
- Non transitive : Les éléments 3 et 4 ne sont jamais atteints à partir de 1 ou 2. Il y a au moins deux orbites : $\{1,2\}$ et $\{3,4\}$.
- Non fidèle : L’élément $(0,1)$ agit comme : $(0,1) \star x = x$ pour tout $x$. C’est un élément non trivial du groupe qui fixe tout. Le noyau contient $(0,1)$, donc l’action n’est pas fidèle.
Conclusion
Qualifier une action de transitive ou de fidèle nous renseigne sur la relation profonde entre un groupe et un ensemble. Une action transitive et fidèle est en quelque sorte « parfaite » : le groupe est représenté comme un groupe de permutations sur un ensemble homogène qu’il peut entièrement explorer, et ce sans redondance. La compréhension de ces propriétés est essentielle pour choisir la bonne action de groupe afin de modéliser et de résoudre un problème donné.