Introduction : Deux Regards sur un Groupe
Parmi toutes les actions de groupe possibles, deux d’entre elles sont absolument fondamentales car elles découlent de la structure même du groupe : ce sont les actions d’un groupe sur lui-même. Ces deux actions, par translation et par conjugaison, offrent des perspectives radicalement différentes et complémentaires sur la nature du groupe.
L’action par translation traite le groupe comme un ensemble homogène d’éléments, ignorant sa structure interne. Elle révèle comment un groupe peut être vu comme un groupe de permutations, une idée qui mène au célèbre théorème de Cayley. À l’inverse, l’action par conjugaison est une sonde qui explore la structure de commutation interne du groupe, révélant ses symétries et ses « défauts de commutativité ». L’étude de ces deux actions est une étape essentielle pour comprendre en profondeur la théorie des groupes.
1. L’Action par Translation (ou Multiplication)
Cette action est la plus naturelle qui soit. Elle consiste simplement à utiliser la loi de composition du groupe pour « déplacer » ses propres éléments.
Soit $(G, \cdot)$ un groupe. $G$ agit sur lui-même (en tant qu’ensemble, $X=G$) de deux manières :
- Par translation à gauche : $g \star x = g \cdot x$.
- Par translation à droite : $g \star x = x \cdot g^{-1}$. (On utilise l’inverse pour satisfaire l’axiome de compatibilité).
Analyse de l’Action par Translation à Gauche
-
Orbites : Quel est l’orbite d’un élément $x \in G$ ? C’est l’ensemble $\{ g \cdot x \mid g \in G \}$. Pour n’importe quel autre élément $y \in G$, on peut toujours trouver un $g$ tel que $y=gx$ (il suffit de prendre $g=yx^{-1}$). L’orbite de $x$ est donc $G$ tout entier.
L’action par translation est toujours transitive. -
Stabilisateurs : Quel est le stabilisateur d’un élément $x \in G$ ? C’est l’ensemble $\{ g \in G \mid g \cdot x = x \}$. En multipliant par $x^{-1}$ à droite, on voit que la seule solution est $g=e$, l’élément neutre.
Le stabilisateur de tout élément est le sous-groupe trivial $\{e\}$. Une telle action est dite fidèle (ou libre).
L’action par translation est au cœur du théorème de Cayley. Comme l’action est fidèle, chaque élément de $G$ induit une permutation distincte de $G$. L’homomorphisme de l’action, $\rho: G \to \mathcal{S}(G)$, est donc injectif.
Le théorème de Cayley stipule que tout groupe fini $G$ d’ordre $n$ est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique $\mathcal{S}_n$. Cette action montre donc que les groupes de permutations sont universels : ils contiennent une copie de chaque groupe fini possible.
2. L’Action par Conjugaison
Cette action n’utilise pas seulement la multiplication, mais aussi l’inversion, pour sonder la structure interne du groupe.
Un groupe $G$ agit sur lui-même ($X=G$) par conjugaison via l’application : $$ g \star x = gxg^{-1} $$
Analyse de l’Action par Conjugaison
-
Orbites : L’orbite d’un élément $x$ est l’ensemble $\{ gxg^{-1} \mid g \in G \}$. C’est par définition la classe de conjugaison de $x$.
Contrairement à la translation, cette action n’est généralement pas transitive. Le groupe $G$ se partitionne en plusieurs classes de conjugaison, qui révèlent comment les éléments sont regroupés par « type structurel ». -
Stabilisateurs : Le stabilisateur d’un élément $x$ est l’ensemble des $g \in G$ qui le fixent : $\{ g \in G \mid gxg^{-1} = x \}$. Cette condition est équivalente à $gx=xg$. C’est l’ensemble des éléments qui commutent avec $x$.
Ce stabilisateur est un sous-groupe très important appelé le centralisateur de $x$, noté $C_G(x)$.
L’application du théorème orbite-stabilisateur à l’action par conjugaison est d’une importance capitale. Elle mène directement à l’équation aux classes.
Pour tout $x \in G$, $| \text{Classe}(x) | = [G : C_G(x)]$. En partitionnant $G$ en ses classes de conjugaison et en isolant les éléments du centre (qui sont les classes de taille 1), on obtient la fameuse équation : $$ |G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^{k} [G : C_G(x_i)] $$
Tableau Comparatif
| Caractéristique | Action par Translation | Action par Conjugaison |
|---|---|---|
| Définition | $g \star x = gx$ | $g \star x = gxg^{-1}$ |
| Nature | Regarde le groupe comme un ensemble homogène | Sonde la structure de commutation interne |
| Orbites | Une seule orbite : $G$ (action transitive) | Les classes de conjugaison |
| Stabilisateurs | Le sous-groupe trivial $\{e\}$ | Le centralisateur $C_G(x)$ |
| Résultat Clé | Théorème de Cayley | Équation aux classes |
Conclusion
Les actions par translation et par conjugaison sont les deux outils d’analyse par défaut de la théorie des groupes. La première nous dit que tout groupe peut être fidèlement représenté comme un groupe de permutations concrètes. La seconde nous permet de décomposer le groupe en fonction de sa structure de commutativité, menant à des résultats arithmétiques puissants. La maîtrise de ces deux actions est la clé pour débloquer la plupart des théorèmes fondamentaux sur la structure des groupes finis.