Aire d’un Domaine du Plan

L’intégrale double, bien que définie pour calculer le volume sous une surface, offre une méthode élégante et puissante pour calculer l’aire d’un domaine $D$ dans le plan. L’astuce consiste à intégrer une fonction de hauteur constante égale à 1 sur ce domaine.

1. Le Principe Fondamental

Le volume d’un solide cylindrique est donné par « Aire de la base × hauteur ». Si l’on construit un cylindre de base $D$ et de hauteur constante $h=1$, son volume est numériquement égal à l’aire de sa base. L’intégrale double de la fonction $f(x,y)=1$ calcule précisément ce volume.

[Image d’un cylindre de hauteur 1 au-dessus d’un domaine D]

Pour effectuer le calcul, on applique le théorème de Fubini en décrivant le domaine $D$ soit comme un domaine de type 1 (bornes de $y$ en fonction de $x$), soit comme un domaine de type 2 (bornes de $x$ en fonction de $y$).

2. Exemples de Calcul

Exemple 1 : Aire délimitée par une parabole et une droite

Calculer l’aire du domaine $D$ borné par la parabole $y=x^2$ et la droite $y=x+2$.

1. Trouver les points d’intersection : On résout $x^2 = x+2 \implies x^2-x-2=0 \implies (x-2)(x+1)=0$. Les points d’intersection sont pour $x=-1$ et $x=2$.
2. Décrire le domaine : Sur l’intervalle $[-1, 2]$, la droite $y=x+2$ est au-dessus de la parabole $y=x^2$. Le domaine est donc de type 1 : $$ D = \{ (x,y) \mid -1 \le x \le 2, \quad x^2 \le y \le x+2 \} $$
3. Calculer l’intégrale : $$ \text{Aire}(D) = \iint_D 1 \,dA = \int_{-1}^2 \left( \int_{x^2}^{x+2} 1 \,dy \right) \,dx $$ L’intégrale intérieure donne la « hauteur » de la tranche verticale : $$ \int_{x^2}^{x+2} 1 \,dy = [y]_{x^2}^{x+2} = (x+2) – x^2 $$ On intègre ce résultat par rapport à $x$ : $$ \text{Aire}(D) = \int_{-1}^2 (x+2 – x^2) \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x – \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^2 $$ $$ = \left( \frac{4}{2} + 4 – \frac{8}{3} \right) – \left( \frac{1}{2} – 2 + \frac{1}{3} \right) = \left( 6 – \frac{8}{3} \right) – \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} $$

Exemple 2 : Aire d’un quart de disque

Calculer l’aire du quart de disque $D$ défini par $x^2+y^2 \le R^2$ avec $x \ge 0$ et $y \ge 0$.

En coordonnées cartésiennes, le domaine est $0 \le x \le R$ et $0 \le y \le \sqrt{R^2-x^2}$.

$$ \text{Aire}(D) = \int_0^R \int_0^{\sqrt{R^2-x^2}} 1 \,dy \,dx = \int_0^R \sqrt{R^2-x^2} \,dx $$

Cette intégrale est faisable mais demande un changement de variable trigonométrique. Un changement en coordonnées polaires est souvent plus direct pour les domaines circulaires.

En coordonnées polaires, le domaine devient un rectangle : $0 \le r \le R$ et $0 \le \theta \le \pi/2$. L’élément d’aire $dA = dx\,dy$ devient $r \,dr \,d\theta$. $$ \text{Aire}(D) = \int_0^{\pi/2} \int_0^R 1 \cdot (r \,dr \,d\theta) $$ Comme la fonction et les bornes sont séparables, le calcul est simple : $$ \text{Aire}(D) = \left( \int_0^R r \,dr \right) \cdot \left( \int_0^{\pi/2} 1 \,d\theta \right) = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^R \cdot [\theta]_0^{\pi/2} = \frac{R^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi R^2}{4} $$