Aire d’une Surface Paramétrée

Comment calculer l’aire d’une surface courbe dans l’espace, comme une sphère, un paraboloïde ou un tore ? La méthode consiste à « dérouler » la surface sur un plan en utilisant une paramétrisation, puis à intégrer un « élément d’aire » infinitésimal sur ce plan. Cet élément d’aire tient compte de la déformation (étirement ou compression) causée par la paramétrisation.

1. L’Élément d’Aire d’une Surface

Soit une surface $S$ paramétrée par une fonction $\vec{r}(u,v)$ où $(u,v)$ varient dans un domaine $D$ du plan.

• Les vecteurs dérivés partiels $\vec{r}_u = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}$ et $\vec{r}_v = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}$ sont des vecteurs tangents à la surface.
• Un petit rectangle de dimensions $du \times dv$ dans le plan des paramètres $(u,v)$ est transformé par $\vec{r}$ en un petit parallélogramme sur la surface, dont les côtés sont approximativement les vecteurs $\vec{r}_u du$ et $\vec{r}_v dv$.
• L’aire de ce parallélogramme infinitésimal, notée $dS$, est donnée par la norme de son produit vectoriel : $$ dS = \|\vec{r}_u du \wedge \vec{r}_v dv\| = \|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\| \,du \,dv $$

[Image d’un élément d’aire sur une surface paramétrée]

2. Méthodologie et Exemple

Exemple : Aire d’une Sphère

Calculer l’aire d’une sphère de rayon $R$.

1. Paramétrisation de la surface : On utilise les coordonnées sphériques. $$ \vec{r}(\phi, \theta) = (R\sin\phi\cos\theta, R\sin\phi\sin\theta, R\cos\phi) $$ Le domaine des paramètres est $D = [0, \pi] \times [0, 2\pi]$.
2. Calcul des vecteurs tangents : $$ \vec{r}_\phi = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} = (R\cos\phi\cos\theta, R\cos\phi\sin\theta, -R\sin\phi) $$ $$ \vec{r}_\theta = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = (-R\sin\phi\sin\theta, R\sin\phi\cos\theta, 0) $$
3. Calcul du produit vectoriel $\vec{r}_\phi \wedge \vec{r}_\theta$ : C’est un calcul de déterminant $3 \times 3$. Après simplification, on obtient : $$ \vec{r}_\phi \wedge \vec{r}_\theta = (R^2\sin^2\phi\cos\theta, R^2\sin^2\phi\sin\theta, R^2\sin\phi\cos\phi) $$
4. Calcul de la norme : $$ \|\vec{r}_\phi \wedge \vec{r}_\theta\|^2 = (R^2\sin^2\phi\cos\theta)^2 + (R^2\sin^2\phi\sin\theta)^2 + (R^2\sin\phi\cos\phi)^2 $$ $$ = R^4\sin^4\phi(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + R^4\sin^2\phi\cos^2\phi = R^4\sin^4\phi + R^4\sin^2\phi\cos^2\phi $$ $$ = R^4\sin^2\phi (\sin^2\phi+\cos^2\phi) = R^4\sin^2\phi $$ Donc, la norme est $\|\vec{r}_\phi \wedge \vec{r}_\theta\| = R^2\sin\phi$ (car $\sin\phi \ge 0$ pour $\phi \in [0,\pi]$).
5. Calcul de l’intégrale : $$ \text{Aire}(S) = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi R^2\sin\phi \,d\phi \,d\theta $$ $$ = R^2 \left( \int_0^{2\pi} 1 \,d\theta \right) \cdot \left( \int_0^\pi \sin\phi \,d\phi \right) = R^2 (2\pi) [-\cos\phi]_0^\pi = 2\pi R^2 (-\cos\pi – (-\cos0)) $$ $$ = 2\pi R^2 (1 – (-1)) = 4\pi R^2 $$

3. Cas Particulier : Surface de la Forme $z=f(x,y)$

Si la surface est le graphe d’une fonction, la formule se simplifie.