Définition des angles de parallélisme

En géométrie hyperbolique, le concept d’angle de parallélisme remplace la notion euclidienne de parallélisme unique. Soit $(\mathbb{H}^2, d)$ le plan hyperbolique, muni d’une métrique de courbure constante $-1$. Une droite hyperbolique est une géodésique, représentée comme un arc de cercle orthogonal au bord dans le modèle du disque de Poincaré, ou une demi-droite verticale dans le modèle du demi-plan.

Soient $d$ une droite hyperbolique et $P \notin d$. Il existe exactement deux géodésiques passant par $P$ et asymptotiques à $d$ (c’est-à-dire qu’elles ne rencontrent pas $d$ mais en approchent à distance nulle à l’infini). L’angle de parallélisme $\Pi(P,d)$ est défini comme l’angle géométrique (au sens hyperbolique) entre $d$ et l’une de ces asymptotes, au point $P$. Par invariance isométrique, $\Pi(P,d)$ ne dépend que de la distance hyperbolique $h = \mathrm{dist}(P,d)$.

Pour des exercices pratiques sur les angles de parallélisme, voir cours et exercices de mathématiques supérieur.

Théorèmes et propriétés fondamentaux

Propriété de décroissance

L’angle de parallélisme est une fonction strictement décroissante de la distance $h \geq 0$, avec $\Pi(0) = \pi/2$ et $\lim_{h \to \infty} \Pi(h) = 0$.

Formule explicite

Dans le modèle du demi-plan de Poincaré, on a la formule close :

$$ \Pi(h) = 2 \arctan(e^{-h}) $$

Une expression équivalente, obtenue par identité trigonométrique, est :

$$ \sin \Pi(h) = \operatorname{sech} h = \frac{1}{\cosh h} $$

Preuve de la formule explicite

Preuve :

On se place dans le modèle du demi-plan $\mathbb{H} = \{ z \in \mathbb{C} : \Im(z) > 0 \}$ muni de la métrique $ds = \frac{|dz|}{\Im(z)}$. Sans perte de généralité, soit $d$ la droite verticale $x=0$. Soit $P = (a,b)$ avec $a>0$, $b>0$. La perpendiculaire hyperbolique à $d$ passant par $P$ est l’horizontale $y=b$, qui coupe $d$ en $Q=(0,b)$. La distance hyperbolique $h = \mathrm{dist}(P,d)$ vaut :

$$
h = \int_{0}^{a} \frac{dx}{b} = \frac{a}{b}.
$$

Une asymptote à $d$ passant par $P$ est le cercle orthogonal au bord $\mathbb{R}$ et tangent à $d$ à l’infini. Un tel cercle passant par $0$ et $P$ a pour centre $(c,0)$ avec $c = \frac{a^2+b^2}{2a}$ et rayon $|c|$. Sa tangente en $P$ a une pente $m = -\frac{a-c}{b}$. L’angle géométrique $\theta$ entre cette tangente et la verticale $d$ vérifie :

$$
\tan \theta = \left| \frac{1}{m} \right| = \frac{b}{|a-c|}.
$$

Or $a-c = a – \frac{a^2+b^2}{2a} = \frac{a^2 – b^2}{2a}$. Ainsi :

$$
\tan \theta = \frac{2ab}{|a^2 – b^2|}.
$$

En utilisant $h = a/b$, on a $a = hb$, et :

$$
a^2 – b^2 = b^2(h^2 – 1), \quad 2ab = 2h b^2.
$$

Donc :

$$
\tan \theta = \frac{2h}{|h^2 – 1|}.
$$

Comme $h > 0$ et $\theta \in (0, \pi/2)$, on a $\theta = \arctan\left( \frac{2h}{1 – h^2} \right)$ si $h<1$? En fait, pour $h \neq 1$, on distingue les cas. Une simplification majeure vient de l’identité :

$$
\sin \theta = \frac{2h}{1+h^2}.
$$

Exemples et contre-exemples

Exemple numérique en géométrie hyperbolique

Prenons $h = 1$. Alors $\Pi(1) = 2\arctan(e^{-1}) \approx 2\arctan(0.367879) \approx 2 \times 0.353554 = 0.707108$ radians, soit environ $40.5^\circ$. On vérifie $\sin \Pi(1) = \operatorname{sech}(1) \approx 0.648054$.

Pour $h = 2$, $\Pi(2) = 2\arctan(e^{-2}) \approx 2\arctan(0.135335) \approx 2 \times 0.13486 = 0.26972$ rad ($\approx 15.5^\circ$).

Contre-exemple en géométrie euclidienne

En géométrie euclidienne, par l’axiome des parallèles, par un point extérieur à une droite, il passe exactement une droite parallèle (ne rencontrant pas la droite). Il n’y a pas d’angle de parallélisme car les parallèles sont uniques et ne sont pas asymptotiques au sens hyperbolique. Ainsi, la notion d’angle de parallélisme est intrinsèquement liée à la géométrie hyperbolique.

Une présentation plus détaillée des géométries non euclidiennes est disponible sur CultureMath.