Anneau Produit et ses Propriétés
En algèbre, une manière courante de construire de nouvelles structures est de combiner des structures existantes. Étant donné deux anneaux, on peut former un nouvel anneau appelé l’anneau produit. Cette construction, simple en apparence, est fondamentale et révèle des propriétés importantes, notamment sur la manière dont la structure d’intégrité se comporte. Elle permet de créer des anneaux avec des diviseurs de zéro à partir d’anneaux qui n’en ont pas.
Soient $(A, +_A, \times_A)$ et $(B, +_B, \times_B)$ deux anneaux. L’anneau produit de $A$ et $B$ est l’ensemble $A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \}$, c’est-à-dire le produit cartésien des ensembles $A$ et $B$. On munit cet ensemble de deux lois d’opérations définies composante par composante :
- Addition : Pour tous $(a_1, b_1), (a_2, b_2) \in A \times B$, $$ (a_1, b_1) + (a_2, b_2) = (a_1 +_A a_2, b_1 +_B b_2) $$
- Multiplication : Pour tous $(a_1, b_1), (a_2, b_2) \in A \times B$, $$ (a_1, b_1) \times (a_2, b_2) = (a_1 \times_A a_2, b_1 \times_B b_2) $$
Muni de ces deux lois, $(A \times B, +, \times)$ est bien un anneau. La vérification des axiomes (associativité, distributivité, etc.) découle directement des propriétés analogues dans les anneaux $A$ et $B$.
Soit l’anneau produit $C = A \times B$.
- Éléments neutres : L’élément neutre pour l’addition (le « zéro » de $C$) est le couple $(0_A, 0_B)$, où $0_A$ et $0_B$ sont les zéros respectifs de $A$ et $B$.
- Commutativité et Unité :
– Si $A$ et $B$ sont des anneaux commutatifs, alors $A \times B$ est un anneau commutatif.
– Si $A$ et $B$ sont unitaires, d’unités respectives $1_A$ et $1_B$, alors $A \times B$ est unitaire et son unité est l’élément $(1_A, 1_B)$. - Diviseurs de zéro : C’est la propriété la plus notable et contre-intuitive. Même si $A$ et $B$ sont des anneaux intègres (c’est-à-dire sans diviseurs de zéro, comme $\mathbb{Z}$ ou $K[X]$), leur produit $A \times B$ n’est jamais intègre (sauf cas triviaux où l’un des anneaux est l’anneau nul). En effet, $A \times B$ contient toujours des diviseurs de zéro structurels.
Considérons les éléments non nuls $u = (1_A, 0_B)$ et $v = (0_A, 1_B)$. Leur produit est : $$ u \times v = (1_A, 0_B) \times (0_A, 1_B) = (1_A \times_A 0_A, 0_B \times_B 1_B) = (0_A, 0_B) $$ Nous avons trouvé deux éléments non nuls $u$ et $v$ dont le produit est l’élément nul de l’anneau produit. Par définition, $u$ et $v$ sont des diviseurs de zéro. - Idempotents : Les éléments $u = (1_A, 0_B)$ et $v = (0_A, 1_B)$ sont des idempotents orthogonaux. Un idempotent est un élément $e$ tel que $e^2 = e$. On a bien : $$ u^2 = (1_A, 0_B) \times (1_A, 0_B) = (1_A, 0_B) = u $$ $$ v^2 = (0_A, 1_B) \times (0_A, 1_B) = (0_A, 1_B) = v $$ La présence d’idempotents non triviaux (différents de $(0,0)$ et $(1,1)$) est une caractéristique des anneaux qui ne sont pas connexes (et donc non intègres).
- Éléments inversibles : Un élément $(a, b) \in A \times B$ est inversible si et seulement si $a$ est inversible dans $A$ et $b$ est inversible dans $B$. Si $a^{-1}$ et $b^{-1}$ sont leurs inverses respectifs, alors : $$ (a,b)^{-1} = (a^{-1}, b^{-1}) $$ L’ensemble des inversibles de $A \times B$, noté $(A \times B)^\times$, est donc le produit des groupes d’inversibles : $(A \times B)^\times = A^\times \times B^\times$.
Exemple : L’anneau $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$
Considérons l’anneau produit de l’anneau des entiers relatifs avec lui-même. Soient les deux éléments $U = (2, -3)$ et $V = (5, 4)$.
Somme : $$ U + V = (2+5, -3+4) = (7, 1) $$
Produit : $$ U \times V = (2 \times 5, -3 \times 4) = (10, -12) $$
Diviseurs de zéro : Soient $P = (1, 0)$ et $Q = (0, 1)$. Ce sont deux éléments non nuls de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$. Leur produit est : $$ P \times Q = (1 \times 0, 0 \times 1) = (0, 0) $$ Ceci confirme que $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, bien que construit à partir de l’anneau intègre $\mathbb{Z}$, n’est pas lui-même intègre.
Inversibles : Les seuls inversibles de $\mathbb{Z}$ sont $1$ et $-1$. L’ensemble des inversibles de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ est donc : $$ (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})^\times = \{1, -1\} \times \{1, -1\} = \{ (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1) \} $$ L’élément $(2, 3)$ n’est pas inversible car ni $2$ ni $3$ ne sont inversibles dans $\mathbb{Z}$.