Application au Calcul de Volumes
Le calcul du volume d’un solide $E$ via l’intégrale triple $V = \iiint_E 1 \,dV$ est une application fondamentale. Le succès de ce calcul dépend presque entièrement du choix du système de coordonnées. Un bon choix transforme un domaine aux bornes complexes en une simple « boîte » rectangulaire, rendant le calcul des intégrales itérées beaucoup plus aisé. Nous allons illustrer la stratégie de choix à travers des exemples.
1. Le Choix des Coordonnées Cartésiennes
Les coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ sont le choix par défaut, particulièrement adaptées aux solides délimités par des plans ou des surfaces dont les équations sont simples en $x,y,z$.
Exemple : Volume d’un « Coin »
Calculer le volume du solide $E$ délimité par le cylindre parabolique $z=4-x^2$ et les plans $x=0$, $y=0$, $y=2$ et $z=0$.
- Description du domaine :
- Le solide est au-dessus du plan $z=0$ et sous la surface $z=4-x^2$. Donc $0 \le z \le 4-x^2$.
- La projection $D$ sur le plan $(x,y)$ est délimitée par $x=0$, $y=0$, $y=2$. La condition $z \ge 0$ implique $4-x^2 \ge 0$, soit $x \le 2$. $D$ est donc le rectangle $[0,2] \times [0,2]$.
- Calcul de l’intégrale : $$ V = \int_0^2 \int_0^2 \int_0^{4-x^2} 1 \,dz \,dy \,dx = \int_0^2 \int_0^2 (4-x^2) \,dy \,dx $$ $$ = \int_0^2 (4-x^2)[y]_0^2 \,dx = \int_0^2 2(4-x^2) \,dx = 2 \left[ 4x – \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left( 8 – \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} $$
2. Le Choix des Coordonnées Cylindriques
Les coordonnées cylindriques $(r, \theta, z)$ sont idéales pour les solides présentant une symétrie de révolution autour de l’axe $z$. N’oubliez pas l’élément de volume $dV = r \,dr \,d\theta \,dz$.
Exemple : Volume d’une Sphère Trouée
Calculer le volume du solide $E$ à l’intérieur de la sphère $x^2+y^2+z^2=4$ et à l’extérieur du cylindre $x^2+y^2=1$.
- Description du domaine en cylindriques :
- Le domaine radial est un anneau : $1 \le r \le 2$.
- Par symétrie, l’angle est complet : $0 \le \theta \le 2\pi$.
- La hauteur $z$ est bornée par la sphère. L’équation de la sphère est $r^2+z^2=4$, soit $z = \pm\sqrt{4-r^2}$. Donc, $-\sqrt{4-r^2} \le z \le \sqrt{4-r^2}$.
- Calcul de l’intégrale : $$ V = \int_0^{2\pi} \int_1^2 \int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}} r \,dz \,dr \,d\theta = \int_0^{2\pi} \int_1^2 r [z]_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}} \,dr \,d\theta $$ $$ = \int_0^{2\pi} \int_1^2 2r\sqrt{4-r^2} \,dr \,d\theta $$ L’intégrale intérieure (par substitution $u=4-r^2$) vaut $2\sqrt{3}$. $$ V = \int_0^{2\pi} 2\sqrt{3} \,d\theta = 4\pi\sqrt{3} $$
3. Le Choix des Coordonnées Sphériques
Les coordonnées sphériques $(\rho, \phi, \theta)$ sont le meilleur choix pour les solides présentant une symétrie par rapport à l’origine. L’élément de volume est $dV = \rho^2\sin\phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta$.
Exemple : Volume entre deux Sphères
Calculer le volume du solide $E$ compris entre les sphères $x^2+y^2+z^2=1$ et $x^2+y^2+z^2=4$.
- Description du domaine en sphériques :
- Le rayon $\rho$ varie de la petite sphère à la grande : $1 \le \rho \le 2$.
- Pour couvrir tout l’espace, les angles varient sur leur domaine complet : $0 \le \phi \le \pi$ et $0 \le \theta \le 2\pi$.
- Calcul de l’intégrale : $$ V = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_1^2 \rho^2\sin\phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta $$ L’intégrale est séparable : $$ V = \left( \int_1^2 \rho^2 \,d\rho \right) \left( \int_0^\pi \sin\phi \,d\phi \right) \left( \int_0^{2\pi} 1 \,d\theta \right) $$ $$ = \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_1^2 \cdot [-\cos\phi]_0^\pi \cdot [\theta]_0^{2\pi} = \left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right) \cdot (2) \cdot (2\pi) = \frac{7}{3} \cdot 4\pi = \frac{28\pi}{3} $$ On retrouve bien la différence des volumes des deux sphères : $\frac{4}{3}\pi(2^3) – \frac{4}{3}\pi(1^3) = \frac{4\pi}{3}(8-1) = \frac{28\pi}{3}$.