Application des Coordonnées Sphériques
Les coordonnées sphériques sont le système de choix pour les intégrales triples lorsque le problème présente une symétrie par rapport à un point (généralement l’origine). Les domaines comme les sphères, les portions de sphères, ou les cônes centrés à l’origine sont décrits par des bornes constantes en coordonnées sphériques, ce qui transforme des intégrales complexes en calculs beaucoup plus simples.
1. Quand utiliser les Coordonnées Sphériques ?
Il faut envisager un passage en coordonnées sphériques lorsque :
- Le domaine d’intégration est une sphère, une boule, ou une portion de celles-ci. Les cônes centrés à l’origine sont également bien décrits, car ils correspondent à une valeur constante de l’angle $\phi$.
- La fonction à intégrer dépend de l’expression $x^2+y^2+z^2$. Remplacer cette expression par $\rho^2$ simplifie considérablement l’intégrande.
N’oubliez pas que l’élément de volume est $dV = \rho^2\sin\phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta$.
2. Application au Calcul de Volumes
Exemple : Volume d’un « Cornet de Glace »
Calculer le volume du solide $E$ situé à l’intérieur de la sphère $x^2+y^2+z^2=4$ et au-dessus du cône $z=\sqrt{x^2+y^2}$.
- Description du domaine en sphériques :
- La sphère $x^2+y^2+z^2=4$ devient $\rho^2=4$, donc $\rho=2$. Le rayon $\rho$ varie de $0$ à $2$.
- Le cône $z=\sqrt{x^2+y^2}$ correspond, en coordonnées sphériques, à $\rho\cos\phi = \rho\sin\phi$, soit $\tan\phi=1$. Comme $0 \le \phi \le \pi$, cela donne $\phi = \pi/4$. Être « au-dessus » du cône signifie que l’angle avec l’axe $z$ est petit, donc $0 \le \phi \le \pi/4$.
- Par symétrie, l’angle $\theta$ parcourt tout le cercle : $0 \le \theta \le 2\pi$.
- Calcul de l’intégrale de volume : $V = \iiint_E 1 \,dV$ $$ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/4} \int_0^2 \rho^2\sin\phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta $$ L’intégrale est entièrement séparable : $$ V = \left( \int_0^2 \rho^2 \,d\rho \right) \left( \int_0^{\pi/4} \sin\phi \,d\phi \right) \left( \int_0^{2\pi} 1 \,d\theta \right) $$ $$ = \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_0^2 \cdot [-\cos\phi]_0^{\pi/4} \cdot [\theta]_0^{2\pi} = \left(\frac{8}{3}\right) \cdot \left(-\cos(\frac{\pi}{4}) – (-\cos(0))\right) \cdot (2\pi) $$ $$ = \frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right) \cdot 2\pi = \frac{16\pi}{3} \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$
3. Application au Calcul de la Masse
Exemple : Masse d’une Planète de Densité Variable
Calculer la masse d’une planète sphérique de rayon $R$ dont la masse volumique en un point est inversement proportionnelle à la distance au centre, $\rho(x,y,z) = \frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$.
- Mise en équation :
- Densité en sphériques : $\rho(\rho,\phi,\theta) = k/\rho$.
- Domaine (la boule de rayon R) : $0 \le \rho \le R$, $0 \le \phi \le \pi$, $0 \le \theta \le 2\pi$.
- Calcul de l’intégrale de masse : $M = \iiint_E \rho \,dV$ $$ M = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R \left(\frac{k}{\rho}\right) \cdot (\rho^2\sin\phi) \,d\rho \,d\phi \,d\theta $$ $$ M = k \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R \rho\sin\phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta $$ L’intégrale est à nouveau séparable : $$ M = k \left( \int_0^R \rho \,d\rho \right) \left( \int_0^\pi \sin\phi \,d\phi \right) \left( \int_0^{2\pi} 1 \,d\theta \right) $$ $$ = k \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_0^R \cdot [-\cos\phi]_0^\pi \cdot [\theta]_0^{2\pi} = k \left(\frac{R^2}{2}\right) \cdot (2) \cdot (2\pi) = 2\pi k R^2 $$