Application du Théorème de Lagrange
Le théorème de Lagrange est bien plus qu’une simple observation arithmétique ; c’est un outil puissant qui fournit des informations profondes sur la structure des groupes finis. Ses corollaires sont parmi les résultats les plus utilisés en théorie des groupes.
Soit $G$ un groupe fini d’ordre $n$. Pour tout élément $x \in G$, l’ordre de $x$ (noté $o(x)$) divise l’ordre du groupe $n$.
Une conséquence directe est que pour tout $x \in G$, on a $x^n = e$ (où $e$ est l’élément neutre).
Démonstration
Soit $x \in G$. Considérons le sous-groupe cyclique engendré par $x$, noté $H = \langle x \rangle$.
Par définition, l’ordre de l’élément $x$, $o(x)$, est égal à l’ordre du sous-groupe qu’il engendre, $|H|$.
D’après le théorème de Lagrange, l’ordre du sous-groupe $H$ doit diviser l’ordre du groupe $G$.
Donc, $o(x)$ divise $|G|$.
Soit $G$ un groupe d’ordre $p$, où $p$ est un nombre premier.
Alors $G$ est cyclique (et donc abélien).
Démonstration
Soit $G$ un groupe d’ordre premier $p$.
Puisque $p \ge 2$, le groupe $G$ contient au moins un élément $x$ différent de l’élément neutre $e$.
Considérons l’ordre de cet élément, $o(x)$. D’après le corollaire 1, $o(x)$ doit diviser l’ordre du groupe, $p$.
Les seuls diviseurs d’un nombre premier $p$ sont 1 et $p$.
Comme $x \neq e$, son ordre n’est pas 1. Donc, $o(x) = p$.
Le sous-groupe engendré par $x$, $\langle x \rangle$, est donc d’ordre $p$. Comme c’est un sous-groupe de $G$ qui a le même ordre que $G$, il est égal à $G$.
Ainsi, $G = \langle x \rangle$, ce qui signifie que $G$ est cyclique.