Application à la Géométrie Différentielle
La formule de calcul de l’aire d’une surface, $\iint_D \|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\| \,du \,dv$, est bien plus qu’un simple outil de calcul. Le terme $\|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\|$ est au cœur de la géométrie différentielle des surfaces. Il contient toute l’information sur la manière dont la paramétrisation déforme le plan des paramètres pour créer la surface courbe, et permet de définir les propriétés géométriques intrinsèques de la surface.
1. La Première Forme Fondamentale et la Métrique
La géométrie d’une surface (longueurs de courbes, angles, aires) est entièrement déterminée par un objet appelé la première forme fondamentale, ou tenseur métrique. Ses coefficients sont définis à partir des vecteurs tangents.
Soit une surface paramétrée par $\vec{r}(u,v)$. Les coefficients de la première forme fondamentale sont :
- $E(u,v) = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_u = \|\vec{r}_u\|^2$
- $F(u,v) = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_v$
- $G(u,v) = \vec{r}_v \cdot \vec{r}_v = \|\vec{r}_v\|^2$
Grâce à l’identité de Lagrange, on peut relier ces coefficients à l’élément d’aire : $$ \|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\|^2 = \|\vec{r}_u\|^2 \|\vec{r}_v\|^2 – (\vec{r}_u \cdot \vec{r}_v)^2 = EG – F^2 $$
L’élément d’aire $dS$ peut s’exprimer directement en fonction des coefficients de la première forme fondamentale : $$ dS = \sqrt{EG – F^2} \,du \,dv $$ L’aire totale de la surface est donc : $$ \text{Aire}(S) = \iint_D \sqrt{EG – F^2} \,du \,dv $$
Cela montre que l’aire est une propriété intrinsèque de la surface : elle ne dépend que de sa métrique locale (définie par $E, F, G$) et non de la façon dont la surface est « plongée » dans l’espace $\mathbb{R}^3$.
2. Intégrales de Surface
L’élément d’aire $dS$ est la brique de base pour définir l’intégrale d’un champ scalaire sur une surface. Cela permet de calculer des grandeurs physiques pour des objets courbes.
Soit $f(x,y,z)$ un champ scalaire continu et $S$ une surface paramétrée par $\vec{r}(u,v)$. L’intégrale de surface de $f$ sur $S$ est : $$ \iint_S f \,dS = \iint_D f(\vec{r}(u,v)) \|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\| \,du \,dv $$
Application Physique
Si la surface $S$ représente une coque mince et que $f(x,y,z)$ est sa densité surfacique de masse (en kg/m²), alors l’intégrale de surface $\iint_S f \,dS$ donne la masse totale de la coque.
Calculer la masse d’un hémisphère de rayon $R$ dont la densité en un point est proportionnelle à sa distance à la base, $\sigma(x,y,z) = k z$.
- Paramétrisation : Hémisphère supérieur. $\vec{r}(\phi, \theta) = (R\sin\phi\cos\theta, R\sin\phi\sin\theta, R\cos\phi)$ avec $0 \le \phi \le \pi/2$ et $0 \le \theta \le 2\pi$.
- Élément d’aire : On a déjà calculé $\|\vec{r}_\phi \wedge \vec{r}_\theta\| = R^2\sin\phi$.
- Fonction sur la surface : $f(\vec{r}(\phi,\theta)) = k z = kR\cos\phi$.
- Calcul de l’intégrale : $$ M = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} (kR\cos\phi) (R^2\sin\phi) \,d\phi \,d\theta $$ $$ = kR^3 \left( \int_0^{2\pi} d\theta \right) \left( \int_0^{\pi/2} \sin\phi\cos\phi \,d\phi \right) $$ $$ = kR^3 (2\pi) \left[ \frac{\sin^2\phi}{2} \right]_0^{\pi/2} = 2\pi kR^3 \left( \frac{1}{2} – 0 \right) = \pi k R^3 $$