Les Applications affines constituent la classe fondamentale de transformations entre espaces affines préservant la structure barycentrique et l’alignement des points. Elles généralisent les applications linéaires en introduisant une translation, permettant ainsi de modéliser des changements de repère et des déformations géométriques sans conserver nécessairement l’origine.
Définition formelle et partie linéaire associée
Soient $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$ deux espaces affines sur un corps commutatif $\mathbb{K}$, associés respectivement aux espaces vectoriels $E$ et $F$. Une application $f : \mathcal{E} \to \mathcal{F}$ est dite affine s’il existe une application linéaire unique $\vec{f} : E \to F$, appelée partie linéaire (ou application linéaire associée) de $f$, telle que pour tous points $A, B \in \mathcal{E}$ :
$$ \overrightarrow{f(A)f(B)} = \vec{f}(\overrightarrow{AB}) $$Cette relation fondamentale lie la géométrie des points à l’algèbre des vecteurs. Elle implique que l’image d’un vecteur reliant deux points par une application affine est exactement l’image de ce vecteur par l’application linéaire associée.
Une caractérisation équivalente fixe un point origine $O \in \mathcal{E}$. L’application $f$ est affine si et seulement si :
$$ \forall M \in \mathcal{E}, \quad f(M) = f(O) + \vec{f}(\overrightarrow{OM}) $$Cette formule montre qu’une application affine est la composée d’une application linéaire (agissant sur les vecteurs) et d’une translation (définie par le vecteur $\overrightarrow{f(O)O’}$ où $O’=f(O)$).
Unicité de la partie linéaire
L’application linéaire $\vec{f}$ associée à une application affine $f$ est unique. Si deux applications linéaires $u$ et $v$ satisfont la condition de définition pour $f$, alors pour tout vecteur $\vec{w} = \overrightarrow{AB}$, on a $u(\vec{w}) = v(\vec{w})$. Comme tout vecteur de $E$ s’écrit comme différence de deux points, $u$ et $v$ coïncident sur tout $E$.
Propriété fondamentale : Conservation du barycentre
La propriété caractéristique majeure des Applications affines est la conservation des barycentres. C’est cette propriété qui définit intrinsèquement la géométrie affine indépendamment de toute notion de distance ou d’angle.
Théorème de conservation des barycentres
Énoncé : Soit $f : \mathcal{E} \to \mathcal{F}$ une application affine. Pour toute famille finie de points pondérés $\{(A_i, \lambda_i)\}_{i \in I}$ de $\mathcal{E}$ telle que $\sum_{i \in I} \lambda_i \neq 0$, l’image du barycentre est le barycentre des images :
$$ f\left( \text{Bar}\{(A_i, \lambda_i)\} \right) = \text{Bar}\{(f(A_i), \lambda_i)\} $$Preuve : Notons $G$ le barycentre du système source. Par définition, $\sum \lambda_i \overrightarrow{GA_i} = \vec{0}_E$. Appliquons l’application linéaire associée $\vec{f}$ à cette égalité :
$$ \vec{f}\left( \sum_{i \in I} \lambda_i \overrightarrow{GA_i} \right) = \vec{f}(\vec{0}_E) = \vec{0}_F $$Par linéarité de $\vec{f}$ :
$$ \sum_{i \in I} \lambda_i \vec{f}(\overrightarrow{GA_i}) = \vec{0}_F $$Or, par définition d’une application affine, $\vec{f}(\overrightarrow{GA_i}) = \overrightarrow{f(G)f(A_i)}$. Donc :
$$ \sum_{i \in I} \lambda_i \overrightarrow{f(G)f(A_i)} = \vec{0}_F $$Cette dernière égalité signifie précisément que le point $f(G)$ est le barycentre du système $\{(f(A_i), \lambda_i)\}$. $\blacksquare$
Corollaires immédiats
De ce théorème découlent plusieurs propriétés géométriques essentielles conservées par les Applications affines :
- Conservation de l’alignement : L’image de trois points alignés est constituée de trois points alignés (cas particulier du barycentre avec deux points).
- Conservation du milieu : L’image du milieu d’un segment est le milieu du segment image.
- Conservation du parallélisme : Si deux droites sont parallèles, leurs images sont parallèles (ou confondues).
- Conservation des rapports de mesures algébriques : Sur deux droites parallèles, le rapport des longueurs de segments est conservé.
Expression analytique et matricielle
Dans un cadre coordonné, les Applications affines se traduisent par des systèmes d’équations linéaires avec second membre, ou via l’usage de matrices augmentées.
Écriture dans des repères affines
Soient $\mathcal{R} = (O, \mathcal{B})$ un repère de $\mathcal{E}$ et $\mathcal{R}’ = (O’, \mathcal{B}’)$ un repère de $\mathcal{F}$. Si $X$ est le vecteur colonne des coordonnées d’un point $M$ dans $\mathcal{R}$ et $Y$ celui de $f(M)$ dans $\mathcal{R}’$, alors :
$$ Y = A X + B $$Où :
- $A$ est la matrice de l’application linéaire associée $\vec{f}$ dans les bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}’$.
- $B$ est le vecteur colonne des coordonnées du point $f(O)$ dans le repère $\mathcal{R}’$.
Cette forme $f(x) = Ax+b$ est la signature analytique d’une application affine. Le terme constant $B$ représente la composante de translation.
Utilisation des coordonnées homogènes
Pour linéariser totalement l’écriture et traiter translations et parties linéaires de manière uniforme, on utilise les coordonnées homogènes. En ajoutant une coordonnée égale à 1 aux vecteurs de coordonnées, l’équation devient :
$$ \begin{pmatrix} Y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ 1 \end{pmatrix} $$La matrice bloc $\mathcal{M} = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ agit linéairement sur l’espace des coordonnées homogènes. Cette représentation est cruciale en infographie et en robotique pour composer facilement des transformations successives.
Exemples classiques et contre-exemples
Illustrons la diversité des Applications affines par des exemples standards et des cas qui n’en sont pas.
Exemple 1 : Translations et Homothéties
La translation $t_{\vec{u}}$ d’un vecteur $\vec{u}$ est une application affine dont la partie linéaire associée est l’identité $\text{Id}_E$. En effet, $\overrightarrow{t_{\vec{u}}(A)t_{\vec{u}}(B)} = \overrightarrow{(A+\vec{u})(B+\vec{u})} = \overrightarrow{AB}$.
L’homothétie $h_{\Omega, k}$ de centre $\Omega$ et de rapport $k$ est une application affine dont la partie linéaire est l’homothétie vectorielle de rapport $k$, soit $k \cdot \text{Id}_E$. On vérifie que $\overrightarrow{h(A)h(B)} = k \overrightarrow{AB}$.
Exemple 2 : Projections et Symétries affines
Une projection affine sur un sous-espace $\mathcal{F}$ parallèlement à un sous-espace $\mathcal{G}$ (supplémentaire de $\mathcal{F}$) est une application affine. Sa partie linéaire est la projection vectorielle sur la direction de $\mathcal{F}$ parallèlement à celle de $\mathcal{G}$.
De même, une symétrie affine par rapport à un sous-espace $\mathcal{F}$ parallèlement à $\mathcal{G}$ est affine. Ces transformations sont involutives ($f \circ f = \text{Id}$) si ce sont des symétries.
Contre-exemple : Application non affine
Considérons l’application $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = x^2$. Cette application n’est pas affine car elle ne conserve pas les barycentres (les milieux). Prenons $A=0, B=2$, leur milieu est $1$. $g(0)=0, g(2)=4$, leur milieu est $2$. Or $g(1)=1 \neq 2$.
De plus, sa forme n’est pas $ax+b$. La courbure introduite par le terme quadratique brise la structure affine (l’alignement n’est pas conservé globalement).
Structure de l’ensemble des applications affines
L’étude des Applications affines révèle une structure algébrique riche liée au groupe affine.
Espace vectoriel des applications affines
L’ensemble des applications affines de $\mathcal{E}$ dans $\mathcal{F}$, noté $\mathcal{A}(\mathcal{E}, \mathcal{F})$, possède une structure d’espace vectoriel. La somme de deux applications affines et le produit par un scalaire sont définis point par point.
Cependant, la composée de deux applications affines $g \circ f$ est affine, et sa partie linéaire associée est la composée des parties linéaires : $\overrightarrow{g \circ f} = \vec{g} \circ \vec{f}$.
Le Groupe Affine
L’ensemble des bijections affines de $\mathcal{E}$ sur lui-même forme un groupe appelé le Groupe Affine, noté $\text{GA}(\mathcal{E})$. Ce groupe contient comme sous-groupes importants le groupe des translations et le groupe linéaire général (fixant un point).
Tout élément de $\text{GA}(\mathcal{E})$ est déterminé de manière unique par l’image d’un repère affine. C’est le fondement du théorème fondamental de la géométrie affine.
Applications en géométrie et modélisation
Les Applications affines sont omniprésentes dans la modélisation mathématique du monde réel, là où les distances ne sont pas absolues mais les rapports et le parallélisme le sont.
Changement de repère
Le passage d’un repère affine à un autre dans un même espace est réalisé par une application affine bijective (un isomorphisme affine). Les formules de changement de coordonnées sont directement issues de l’expression $X’ = AX+B$.
Classification des coniques et quadriques
En géométrie affine, on classe les courbes et surfaces à équivalence affine près. Par exemple, toutes les ellipses sont affinement équivalentes au cercle unité. Toutes les paraboles sont équivalentes à la parabole standard $y=x^2$.
Cette classification est plus grossière que la classification euclidienne (qui distingue les ellipses selon leurs axes), mais elle met en évidence les propriétés structurelles profondes liées au degré de l’équation et à la nature des points à l’infini.
Conclusion synthétique
Les Applications affines sont les morphismes naturels de la catégorie des espaces affines, caractérisés par la conservation des barycentres et l’existence d’une partie linéaire associée. Elles unifient les concepts de transformations linéaires et de translations.
Leur maîtrise est indispensable pour aborder la géométrie moderne, l’infographie, la mécanique classique (changement de référentiels galiléens) et l’optimisation, où elles permettent de simplifier les problèmes par des changements de variables appropriés tout en préservant la structure convexe et l’incidence.