Applications de la Formule de Green-Riemann
La formule de Green-Riemann, $\oint_\mathcal{C} P \,dx + Q \,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dA$, est bien plus qu’un résultat théorique. C’est un outil de calcul extrêmement polyvalent qui permet de transformer des intégrales curvilignes en intégrales doubles et vice-versa, offrant souvent une voie de calcul beaucoup plus simple.
1. Simplification du Calcul de la Circulation
La première application est de transformer une intégrale curviligne sur une boucle fermée $\mathcal{C}$, qui peut nécessiter une paramétrisation compliquée, en une intégrale double sur le domaine $D$ qu’elle entoure. Si le terme $\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y}$ est simple (par exemple une constante ou un polynôme de bas degré), l’intégrale double est souvent plus facile à calculer.
Exemple
Calculer la circulation du champ $\vec{F}(x,y) = (xy, x^2+y^2)$ le long du carré de sommets (0,0), (1,0), (1,1) et (0,1), orienté positivement.
Le calcul direct nécessiterait de paramétrer et de calculer quatre intégrales curvilignes distinctes (une pour chaque côté du carré). Utilisons plutôt Green-Riemann.
- Identifier P et Q : $P(x,y) = xy$, $Q(x,y) = x^2+y^2$.
- Calculer les dérivées partielles : $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = x $$
- Appliquer la formule : Le domaine $D$ est le carré $[0,1] \times [0,1]$. $$ \oint_\mathcal{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_D (2x – x) \,dA = \iint_D x \,dA $$
- Calculer l’intégrale double : $$ \int_0^1 \int_0^1 x \,dx \,dy = \left( \int_0^1 x \,dx \right) \left( \int_0^1 1 \,dy \right) = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 \cdot [y]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $$
Le calcul est beaucoup plus rapide que la méthode directe.
2. Calcul d’Aires par Intégrale Curviligne
C’est l’une des applications les plus élégantes. En choisissant judicieusement le champ de vecteurs, on peut utiliser une intégrale sur la frontière pour mesurer l’aire de la surface intérieure.
On cherche un champ $(P,Q)$ tel que $\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} = 1$. L’intégrale double devient alors $\iint_D 1 \,dA = \text{Aire}(D)$.
Les choix les plus courants sont :
- $\vec{F} = (-y, 0) \implies \text{Aire}(D) = \oint_\mathcal{C} -y \,dx$
- $\vec{F} = (0, x) \implies \text{Aire}(D) = \oint_\mathcal{C} x \,dy$
- $\vec{F} = (-y/2, x/2) \implies \text{Aire}(D) = \frac{1}{2}\oint_\mathcal{C} -y \,dx + x \,dy$
Cette dernière formule est utilisée dans les planimètres, des instruments mécaniques qui mesurent l’aire d’une forme en suivant son contour.
[Image d’un planimètre analogique]3. Version Divergence de la Formule (Flux)
La formule de Green-Riemann a une seconde forme, qui relie le flux d’un champ de vecteurs à travers une courbe fermée à la divergence de ce champ sur le domaine intérieur.
Pour un champ $\vec{F}=(P,Q)$, le flux à travers la frontière $\mathcal{C}$ est donné par : $$ \oint_\mathcal{C} \vec{F} \cdot \vec{n} \,ds = \iint_D \text{div}(\vec{F}) \,dA = \iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) \,dA $$ où $\vec{n}$ est le vecteur normal unitaire extérieur à la courbe.
Interprétation : Le flux total sortant d’une région est égal à la somme des « sources » à l’intérieur de cette région. C’est la version 2D du théorème de la divergence de Gauss-Ostrogradsky.