Calcul Approché des Valeurs d’une Fonction
Si une fonction $f$ vérifie les conditions d’application de la formule de Taylor-Lagrange sur $[x_0, x_0+h]$, on a : $$ f(x_0+h) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}h^{n+1} $$ On peut alors utiliser le polynôme de Taylor comme valeur approchée de $f(x_0+h)$. Si l’on peut majorer la dérivée $(n+1)$-ième sur le segment, on obtient une majoration de l’erreur commise : $$ \text{Erreur} = \left| \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}h^{n+1} \right| \le \frac{|h|^{n+1}}{(n+1)!} \max_{t \in [x_0, x_0+h]} |f^{(n+1)}(t)| $$
Démonstration d’Inégalités
En majorant ou en minorant le reste dans la formule de Taylor-Lagrange, on peut établir des inégalités. Par exemple, pour la fonction $f(x) = \cos x$, la formule à l’ordre 3 en 0 est : $$ \cos x = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{\cos(\theta x)}{24}x^4, \quad \text{avec } 0 < \theta < 1 $$ Pour $x \in [-\pi/2, \pi/2]$, on a $0 \le \cos(\theta x) \le 1$. On en déduit l'encadrement : $$ 1 - \frac{x^2}{2} \le \cos x \le 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} $$
Ordre de Multiplicité des Racines d’une Équation
On dit qu’un réel $x_0$ est une racine d’ordre $p \ge 1$ de l’équation $f(x)=0$ s’il existe une fonction $g$ telle que $f(x) = (x-x_0)^p g(x)$ avec $g(x_0) \neq 0$. La formule de Taylor-Young permet de caractériser cet ordre.
Soit $f$ une fonction de classe $C^{p-1}$ dans un voisinage de $x_0$, admettant une dérivée d’ordre $p$ en $x_0$. Alors $x_0$ est une racine d’ordre $p$ de $f$ si et seulement si : $$ f(x_0) = f'(x_0) = \dots = f^{(p-1)}(x_0) = 0 \quad \text{et} \quad f^{(p)}(x_0) \neq 0 $$