Application des Coordonnées Cylindriques
Les coordonnées cylindriques sont particulièrement adaptées aux problèmes d’intégration triple où le domaine ou la fonction à intégrer possède une symétrie de révolution autour de l’axe $z$. Le passage en coordonnées cylindriques transforme souvent des domaines complexes en « boîtes » rectangulaires dans l’espace des paramètres $(r, \theta, z)$, ce qui simplifie radicalement les bornes d’intégration.
1. Quand utiliser les Coordonnées Cylindriques ?
Il faut envisager un passage en coordonnées cylindriques lorsque :
- Le domaine d’intégration est un cylindre, un cône, un paraboloïde, ou une portion de ces objets. Toute surface dont l’équation en coordonnées cartésiennes ne dépend que de $z$ et de $x^2+y^2$ est un bon candidat.
- La fonction à intégrer dépend de l’expression $x^2+y^2$. Remplacer $x^2+y^2$ par $r^2$ simplifie souvent l’intégrande.
N’oubliez pas que l’élément de volume est $dV = r \,dr \,d\theta \,dz$.
2. Application au Calcul de Volumes
Exemple : Volume d’un « Trou » dans une Sphère
Calculer le volume du solide $E$ obtenu en retirant un cylindre de rayon 1 d’une sphère de rayon 2, centrée à l’origine. C’est le volume de la sphère $x^2+y^2+z^2 \le 4$ pour lequel $x^2+y^2 \ge 1$.
- Description du domaine en cylindriques :
- Le domaine radial est un anneau : $1 \le r \le 2$.
- Par symétrie, l’angle est complet : $0 \le \theta \le 2\pi$.
- La hauteur $z$ est bornée par la sphère. L’équation de la sphère est $r^2+z^2=4$, soit $z = \pm\sqrt{4-r^2}$. Donc, $-\sqrt{4-r^2} \le z \le \sqrt{4-r^2}$.
- Calcul de l’intégrale de volume : $$ V = \int_0^{2\pi} \int_1^2 \int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}} r \,dz \,dr \,d\theta $$ L’intégrale intérieure (par rapport à $z$) est : $$ \int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}} r \,dz = r [z]_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}} = r(2\sqrt{4-r^2}) = 2r\sqrt{4-r^2} $$ Il reste à calculer l’intégrale double : $$ V = \int_0^{2\pi} \left( \int_1^2 2r\sqrt{4-r^2} \,dr \right) \,d\theta $$ L’intégrale du milieu se calcule par substitution ($u=4-r^2, du=-2r\,dr$) : $$ \int_1^2 2r\sqrt{4-r^2} \,dr = \int_3^0 \sqrt{u}(-du) = \int_0^3 u^{1/2} du = \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} \right]_0^3 = \frac{2}{3} (3\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} $$ L’intégrale extérieure est alors : $$ V = \int_0^{2\pi} 2\sqrt{3} \,d\theta = 2\sqrt{3} [\theta]_0^{2\pi} = 4\pi\sqrt{3} $$
3. Application au Calcul de la Masse
Exemple : Masse d’un Cône de Densité Variable
Calculer la masse d’un cône de hauteur $H$ et de rayon de base $R$, dont la masse volumique en un point est proportionnelle à la distance à l’axe du cône. On suppose que le cône est droit, avec son sommet à l’origine et son axe sur l’axe $z$.
- Mise en équation :
- Densité : $\rho(x,y,z) = k\sqrt{x^2+y^2} = kr$.
- Équation du cône : $z = \frac{H}{R}\sqrt{x^2+y^2} = \frac{H}{R}r$.
- Description du domaine en cylindriques :
- $0 \le \theta \le 2\pi$.
- $0 \le z \le H$.
- Pour un $z$ fixé, le rayon $r$ varie de 0 au bord du cône, soit $r = \frac{R}{H}z$. Donc $0 \le r \le \frac{R}{H}z$.
- Calcul de l’intégrale de masse : $M = \iiint_E \rho \,dV$ $$ M = \int_0^{2\pi} \int_0^H \int_0^{R z/H} (kr) \cdot r \,dr \,dz \,d\theta = k \int_0^{2\pi} \int_0^H \int_0^{R z/H} r^2 \,dr \,dz \,d\theta $$ L’intégrale intérieure (par rapport à $r$) : $$ \int_0^{R z/H} r^2 \,dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{R z/H} = \frac{R^3 z^3}{3H^3} $$ L’intégrale du milieu (par rapport à $z$) : $$ \int_0^H \frac{R^3 z^3}{3H^3} \,dz = \frac{R^3}{3H^3} \left[ \frac{z^4}{4} \right]_0^H = \frac{R^3}{3H^3} \frac{H^4}{4} = \frac{R^3 H}{12} $$ L’intégrale extérieure (par rapport à $\theta$) : $$ M = k \int_0^{2\pi} \frac{R^3 H}{12} \,d\theta = k \frac{R^3 H}{12} (2\pi) = \frac{\pi k R^3 H}{6} $$