Applications des Coordonnées Polaires
Le passage en coordonnées polaires est une technique extrêmement puissante pour simplifier les intégrales doubles. Son utilité éclate dès que le domaine d’intégration ou la fonction à intégrer présente une symétrie par rapport à l’origine.
1. Quand utiliser les Coordonnées Polaires ?
Il faut envisager un passage en coordonnées polaires dans deux situations principales :
- Le domaine d’intégration est circulaire : C’est le cas le plus évident. Si le domaine est un disque, un secteur de disque, un anneau ou une portion d’anneau, sa description en coordonnées polaires devient un simple rectangle, ce qui simplifie énormément les bornes d’intégration.
- La fonction à intégrer contient le terme $x^2+y^2$ : L’expression $x^2+y^2$ se transforme très simplement en $r^2$. Cela peut grandement simplifier l’expression de la fonction à intégrer, même si le domaine n’est pas parfaitement circulaire.
2. Application au Calcul d’Aires
Pour calculer l’aire d’un domaine $D$, on utilise la formule $\text{Aire}(D) = \iint_D 1 \,dA$. En polaires, cela devient : $$ \text{Aire}(D) = \iint_{D^*} r \,dr\,d\theta $$
Exemple : Aire d’une Cardioïde
Calculer l’aire de la région délimitée par la cardioïde d’équation polaire $r = 1 + \cos\theta$.
- Description du domaine en polaires : La courbe est déjà donnée en polaires. Pour décrire toute la surface, l’angle $\theta$ varie de $0$ à $2\pi$. Pour un $\theta$ fixé, le rayon $r$ varie de l’origine ($r=0$) jusqu’au bord de la cardioïde ($r=1+\cos\theta$). $$ D^* = \{ (r,\theta) \mid 0 \le \theta \le 2\pi, \quad 0 \le r \le 1+\cos\theta \} $$
- Calcul de l’intégrale : $$ \text{Aire}(D) = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^{1+\cos\theta} r \,dr \right) \,d\theta $$ $$ = \int_0^{2\pi} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^{1+\cos\theta} \,d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (1+\cos\theta)^2 \,d\theta $$ $$ = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (1+2\cos\theta+\cos^2\theta) \,d\theta $$ En utilisant la formule de linéarisation $\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ : $$ = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left(1+2\cos\theta+\frac{1}{2}+\frac{\cos(2\theta)}{2}\right) \,d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left(\frac{3}{2}+2\cos\theta+\frac{\cos(2\theta)}{2}\right) \,d\theta $$ $$ = \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2}\theta + 2\sin\theta + \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2}(2\pi) \right) = \frac{3\pi}{2} $$
3. Application au Calcul d’Intégrales Générales
Exemple : Intégrale d’une Gaussienne
Calculer $\iint_D e^{-x^2-y^2} \,dA$ où $D$ est l’anneau compris entre les cercles $x^2+y^2=1$ et $x^2+y^2=4$.
- Transformation en polaires :
- Fonction : $e^{-(x^2+y^2)} = e^{-r^2}$.
- Domaine $D^*$ : L’anneau devient le rectangle $1 \le r \le 2$ et $0 \le \theta \le 2\pi$.
- Élément d’aire : $dA = r\,dr\,d\theta$.
- Calcul de l’intégrale : $$ \iint_D e^{-x^2-y^2} \,dA = \int_0^{2\pi} \int_1^2 e^{-r^2} r \,dr \,d\theta $$ L’intégrale est séparable : $$ = \left( \int_0^{2\pi} 1 \,d\theta \right) \cdot \left( \int_1^2 re^{-r^2} \,dr \right) $$ $$ = (2\pi) \cdot \left[ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right]_1^2 = (2\pi) \cdot \left( -\frac{1}{2}e^{-4} – (-\frac{1}{2}e^{-1}) \right) = \pi(e^{-1} – e^{-4}) = \pi\left(\frac{1}{e} – \frac{1}{e^4}\right) $$