Applications du Premier Théorème d’Isomorphisme
Le premier théorème d’isomorphisme n’est pas seulement un résultat théorique ; c’est un outil de calcul et de raisonnement extrêmement efficace. Il permet de déterminer la structure de certains groupes, de calculer l’ordre de sous-groupes, et de classifier des familles entières de groupes.
Pour tout morphisme de groupes $f: G \to H$, on a l’isomorphisme : $$G/\ker(f) \simeq \text{Im}(f)$$
Application 1 : Déterminer la structure d’un groupe quotient
Le théorème est la méthode par excellence pour identifier à quoi ressemble un groupe quotient. Si l’on trouve un morphisme surjectif $f: G \to H$, alors on sait immédiatement que $G/\ker(f)$ est isomorphe à $H$.
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Exemple : Soit le morphisme $f: (\mathbb{C}^*, \times) \to (\mathbb{R}_+^*, \times)$ défini par $f(z) = |z|$.
- C’est un morphisme surjectif car pour tout $r>0$, le complexe $r$ a pour module $r$. Donc $\text{Im}(f) = \mathbb{R}_+^*$.
- Le noyau est $\ker(f) = \{z \in \mathbb{C}^* \mid |z|=1\}$, ce qui est le groupe unité $\mathbb{U}$.
- Le théorème nous dit donc : $\mathbb{C}^* / \mathbb{U} \simeq \mathbb{R}_+^*$. Cela nous donne une compréhension intuitive du quotient : « le groupe des complexes non nuls, si l’on ne tient pas compte de l’angle, est juste le groupe des distances à l’origine ».
Application 2 : Calculer l’ordre de sous-groupes
La conséquence arithmétique $|G|/|\ker(f)| = |\text{Im}(f)|$ est très utile pour les groupes finis.
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Exemple : On cherche l’ordre du groupe alterné $\mathcal{A}_n$.
On utilise le morphisme signature $\varepsilon: \mathcal{S}_n \to \{-1, 1\}$.- $|\mathcal{S}_n| = n!$
- $\ker(\varepsilon) = \mathcal{A}_n$
- $\text{Im}(\varepsilon) = \{-1, 1\}$, donc $|\text{Im}(\varepsilon)| = 2$.
- La formule donne : $\frac{|\mathcal{S}_n|}{|\mathcal{A}_n|} = |\text{Im}(\varepsilon)| \implies \frac{n!}{|\mathcal{A}_n|} = 2$.
- On en déduit que $|\mathcal{A}_n| = \frac{n!}{2}$.
Application 3 : Classifier les groupes cycliques
Le théorème permet de prouver que les seuls groupes cycliques (à isomorphisme près) sont $\mathbb{Z}$ et les $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
- Soit $G = \langle a \rangle$ un groupe cyclique engendré par $a$.
- Considérons le morphisme (surjectif) $f: (\mathbb{Z}, +) \to G$ défini par $f(k) = a^k$.
- Le noyau de $f$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$, il est donc de la forme $n\mathbb{Z}$ pour un certain $n \ge 0$.
- Le théorème d’isomorphisme nous dit que $G \simeq \mathbb{Z} / \ker(f) = \mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$.
- Deux cas se présentent :
- Si $n=0$, alors $\ker(f)=\{0\}$ et $G \simeq \mathbb{Z}/\{0\} \simeq \mathbb{Z}$. Le groupe est infini.
- Si $n>0$, alors $G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Le groupe est fini d’ordre $n$.