Applications Géométriques des Théorèmes
Les théorèmes des fonctions implicites et d’inversion locale, bien qu’abstraits, sont les piliers qui justifient rigoureusement de nombreux concepts de la géométrie différentielle. Ils permettent de définir proprement ce qu’est une courbe ou une surface « lisse » et comment on peut y faire du calcul différentiel.
1. Tangentes aux Courbes et Surfaces Implicites
Le théorème des fonctions implicites garantit que si une courbe $g(x,y)=k$ est « lisse » en un point (i.e. $\nabla g \neq \vec{0}$), alors on peut la voir localement comme le graphe d’une fonction. Cela justifie l’existence d’une tangente bien définie.
- Pour une courbe $g(x,y)=k$ : Le théorème des fonctions implicites nous donne la pente de la tangente, $dy/dx = -(\partial g / \partial x) / (\partial g / \partial y)$. L’équation de la droite tangente en $(a,b)$ est : $$ \frac{\partial g}{\partial x}(a,b)(x-a) + \frac{\partial g}{\partial y}(a,b)(y-b) = 0 \quad \iff \quad \nabla g(a,b) \cdot (x-a, y-b) = 0 $$
- Pour une surface $g(x,y,z)=k$ : De même, le théorème garantit l’existence locale d’une fonction $z=\phi(x,y)$, ce qui assure l’existence d’un plan tangent. L’équation de ce plan en $(a,b,c)$ est : $$ \nabla g(a,b,c) \cdot (x-a, y-b, z-c) = 0 $$
Ainsi, le théorème des fonctions implicites est le fondement théorique qui nous permet d’affirmer que le gradient est normal aux lignes et surfaces de niveau.
2. Changements de Coordonnées
Les changements de coordonnées, comme le passage en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques, sont des applications du théorème d’inversion locale.
Un « bon » changement de coordonnées est un difféomorphisme : une application bijective et lisse, dont l’inverse est lisse. Le théorème d’inversion locale nous donne une condition simple pour vérifier si une transformation est un bon changement de coordonnées, au moins localement.
La condition est que le déterminant de la matrice jacobienne de la transformation, le Jacobien, doit être non nul.
Exemple : Coordonnées Polaires
La transformation $f(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ a pour Jacobien $\det(J_f) = r$.
- Pour $r > 0$, le Jacobien est non nul. Le théorème d’inversion locale nous assure que cette transformation est un difféomorphisme local. C’est un changement de coordonnées valide et inversible partout sauf à l’origine.
- À l’origine ($r=0$), le Jacobien est nul. La transformation est « singulière ». En effet, une infinité de points $(0,\theta)$ ont la même image $(0,0)$. L’application n’est pas injective et n’est pas un bon changement de coordonnées en ce point.
Le Jacobien est aussi le terme qui apparaît dans les intégrales multiples lors d’un changement de variables. Par exemple, $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$. Le théorème d’inversion locale est donc à la base de cette formule fondamentale.