Applications Physiques des Intégrales Multiples
Les intégrales multiples sont l’outil mathématique naturel pour « sommer » des quantités continues réparties dans l’espace. Si l’on connaît une densité locale (de masse, de charge, etc.), l’intégrale multiple permet de calculer la quantité totale correspondante (masse totale, charge totale, etc.). Nous allons explorer ici trois applications majeures : le calcul de la masse, du centre de masse et des moments d’inertie.
1. Masse d’un Solide ou d’une Plaque
Si un objet n’est pas homogène, sa masse n’est pas simplement le produit de sa densité par son volume. Sa densité varie en chaque point de l’espace.
Soit un solide occupant une région $E \subset \mathbb{R}^3$, avec une fonction de masse volumique $\rho(x,y,z)$ (en kg/m³).
L’élément de masse infinitésimal $dm$ d’un petit volume $dV$ est $dm = \rho(x,y,z) \,dV$.
La masse totale $M$ du solide est la somme de tous ces éléments de masse, soit l’intégrale triple de la densité sur le domaine :
$$ M = \iiint_E \rho(x,y,z) \,dV $$
Pour une plaque plane (laminé) occupant un domaine $D \subset \mathbb{R}^2$ avec une densité surfacique $\sigma(x,y)$ (en kg/m²), la masse totale est : $$ M = \iint_D \sigma(x,y) \,dA $$
2. Centre de Masse (Centre d’Inertie)
Le centre de masse d’un objet est son point d’équilibre. C’est le point où l’on pourrait concentrer toute la masse de l’objet sans changer son comportement mécanique en translation. C’est la moyenne des positions des points de l’objet, pondérée par la masse.
Pour un solide $E$ de masse volumique $\rho(x,y,z)$ et de masse totale $M$, les coordonnées $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ du centre de masse sont données par : $$ \bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_E x \rho(x,y,z) \,dV $$ $$ \bar{y} = \frac{1}{M} \iiint_E y \rho(x,y,z) \,dV $$ $$ \bar{z} = \frac{1}{M} \iiint_E z \rho(x,y,z) \,dV $$ Les intégrales au numérateur sont appelées les moments de masse par rapport aux plans de coordonnées. Par exemple, $\iiint x \rho \,dV$ est le moment par rapport au plan $yz$.
Si l’objet est homogène ($\rho$ est constant), la densité se simplifie et le centre de masse ne dépend que de la géométrie de l’objet. On l’appelle alors le centroïde.
3. Moments d’Inertie
Le moment d’inertie mesure la résistance d’un objet à la mise en rotation autour d’un axe. C’est l’analogue de la masse pour les mouvements de rotation. Un objet avec un grand moment d’inertie est difficile à faire tourner.
Le moment d’inertie est calculé en sommant les masses de chaque point de l’objet, pondérées par le carré de leur distance à l’axe de rotation.
Pour un solide $E$ de densité $\rho$, les moments d’inertie par rapport aux axes de coordonnées sont :
- Par rapport à l’axe des $x$ (distance à l’axe $x$ : $\sqrt{y^2+z^2}$) : $$ I_x = \iiint_E (y^2+z^2) \rho(x,y,z) \,dV $$
- Par rapport à l’axe des $y$ (distance à l’axe $y$ : $\sqrt{x^2+z^2}$) : $$ I_y = \iiint_E (x^2+z^2) \rho(x,y,z) \,dV $$
- Par rapport à l’axe des $z$ (distance à l’axe $z$ : $\sqrt{x^2+y^2}$) : $$ I_z = \iiint_E (x^2+y^2) \rho(x,y,z) \,dV $$
Cette dépendance au carré de la distance explique pourquoi il est plus facile de faire tourner un objet lorsque sa masse est concentrée près de l’axe de rotation (comme un patineur qui ramène ses bras le long du corps pour accélérer sa rotation).