Approximation Affine d’une Fonction : Formule et Applications

Approximation Affine d’une Fonction : Formule et Applications

Approximation Affine d’une Fonction

L’idée fondamentale du calcul différentiel est d’approcher localement une fonction, potentiellement très complexe, par une fonction beaucoup plus simple : une fonction affine. Cette approximation est à la base de nombreuses méthodes en physique, en ingénierie et en analyse numérique. Elle est la traduction analytique de l’interprétation géométrique du plan tangent.

1. Définition de l’Approximation Affine

L’approximation affine d’une fonction $f$ au voisinage d’un point $a$ est obtenue en ne gardant que la partie affine de son développement limité à l’ordre 1.

Définition

Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ une fonction différentiable en un point $a \in U$.
L’approximation affine de $f$ au voisinage de $a$ est la fonction $A(x)$ définie par : $$ A(x) = f(a) + df_a(x-a) $$ où $df_a$ est la différentielle de $f$ en $a$. Pour $x$ « proche » de $a$, on a : $$ f(x) \approx f(a) + J_f(a) \cdot (x-a) $$ où $J_f(a)$ est la matrice jacobienne de $f$ en $a$.

Cas d’une fonction scalaire ($f: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$)

L’expression devient plus simple à l’aide du gradient. $$ f(x) \approx f(a) + \nabla f(a) \cdot (x-a) $$ Pour $p=2$ et $x=(x_1, x_2)$, $a=(a_1, a_2)$, cela donne : $$ f(x_1, x_2) \approx f(a_1, a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1-a_1) + \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2-a_2) $$ Le membre de droite est l’équation du plan tangent au graphe de $f$ au point $a$.

2. Erreur d’Approximation

La qualité de l’approximation est donnée par le terme « reste » du développement limité, $o(\|x-a\|)$.
L’erreur commise en remplaçant $f(x)$ par $A(x)$ est $E(x) = \|f(x) – A(x)\|$. La définition de la différentiabilité nous dit que : $$ \lim_{x \to a} \frac{E(x)}{\|x-a\|} = 0 $$ Cela signifie que l’erreur $E(x)$ tend vers zéro plus rapidement que la distance $\|x-a\|$. C’est ce qui fait de l’approximation affine une approximation de bonne qualité au voisinage très proche du point $a$.

3. Applications Pratiques

Linéarisation de systèmes

En physique et en ingénierie, de nombreux systèmes sont décrits par des équations non linéaires complexes. Pour étudier la stabilité d’un système autour d’un point d’équilibre, on remplace les fonctions non linéaires par leur approximation affine. On obtient alors un système d’équations linéaires, beaucoup plus simple à résoudre et à analyser. C’est la technique de linéarisation.

Calcul d’incertitudes (propagation des erreurs)

Supposons qu’une grandeur physique $Y$ dépende de plusieurs mesures $X_1, \dots, X_p$ par une relation $Y = f(X_1, \dots, X_p)$. Si chaque mesure $X_i$ est entachée d’une petite incertitude $\Delta X_i$, on peut estimer l’incertitude $\Delta Y$ sur le résultat en utilisant l’approximation affine. $$ \Delta Y = f(X_1+\Delta X_1, \dots) – f(X_1, \dots) \approx \sum_{i=1}^p \frac{\partial f}{\partial X_i}(X_1, \dots, X_p) \Delta X_i $$ En physique, on utilise souvent une somme quadratique pour les erreurs indépendantes, mais le principe de base est celui de l’approximation affine.

Exemple : Estimer une valeur

Soit la fonction $f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$. On souhaite estimer la valeur de $f(3.01, 3.98)$ sans calculatrice, en utilisant une approximation affine autour du point « simple » $a=(3,4)$.

  1. Calculer les valeurs au point $a=(3,4)$ : $$ f(3,4) = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5 $$
  2. Calculer le gradient de $f$ : $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} $$
  3. Évaluer le gradient en $a=(3,4)$ : $$ \nabla f(3,4) = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) $$
  4. Écrire la formule de l’approximation affine : Le point $x=(3.01, 3.98)$ s’écrit $a+h$ avec $h = (0.01, -0.02)$. $$ f(x) \approx f(a) + \nabla f(a) \cdot (x-a) $$ $$ f(3.01, 3.98) \approx 5 + \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) \cdot (0.01, -0.02) $$
  5. Calculer l’estimation : $$ f(3.01, 3.98) \approx 5 + \frac{3}{5}(0.01) + \frac{4}{5}(-0.02) = 5 + \frac{0.03 – 0.08}{5} = 5 – \frac{0.05}{5} = 5 – 0.01 = 4.99 $$

La valeur exacte est $f(3.01, 3.98) = \sqrt{3.01^2 + 3.98^2} \approx 4.99005…$ L’approximation affine donne un résultat très proche.