Argument tangente et cotangente hyperbolique : définitions et propriétés

Argument Cosinus Hyperbolique

La fonction cosinus hyperbolique, $x \mapsto \cosh x$, est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[0, +\infty[$, à valeurs dans $[1, +\infty[$. Elle réalise donc une bijection entre ces deux intervalles. Sa fonction réciproque, notée argch, est appelée « argument cosinus hyperbolique ».

Pour $x \ge 1$, posons $y = \text{argch}(x)$. On a donc $x = \cosh y$ avec $y \ge 0$. En utilisant la relation $\cosh^2 y – \sinh^2 y = 1$ et le fait que $y \ge 0$ (donc $\sinh y \ge 0$), on trouve $\sinh y = \sqrt{x^2-1}$. En additionnant, $e^y = \cosh y + \sinh y = x + \sqrt{x^2-1}$. On en déduit l’expression logarithmique : $$ \text{argch}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2-1}) \quad \text{pour } x \ge 1 $$

Argument Sinus Hyperbolique

La fonction sinus hyperbolique, $x \mapsto \sinh x$, est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. Sa fonction réciproque, notée argsh, est appelée « argument sinus hyperbolique ».

Pour $x \in \mathbb{R}$, posons $y = \text{argsh}(x)$. On a $x = \sinh y$. Comme $\cosh y = \sqrt{1+\sinh^2 y}$ (car $\cosh y$ est toujours positif), on a $\cosh y = \sqrt{x^2+1}$. En additionnant, $e^y = \sinh y + \cosh y = x + \sqrt{x^2+1}$. D’où l’expression logarithmique : $$ \text{argsh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) \quad \text{pour } x \in \mathbb{R} $$

Argument Tangente Hyperbolique

La fonction tangente hyperbolique, $x \mapsto \tanh x$, est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $]-1, 1[$. Sa fonction réciproque, notée argth, est appelée « argument tangente hyperbolique ».

Pour $x \in ]-1, 1[$, si $y = \text{argth}(x)$, alors $x = \tanh y = \frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}$. En isolant $e^{2y}$, on trouve $e^{2y} = \frac{1+x}{1-x}$. D’où l’expression logarithmique : $$ \text{argth}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \quad \text{pour } |x| < 1 $$

Argument Cotangente Hyperbolique

La fonction cotangente hyperbolique, $x \mapsto \coth x$, est continue et strictement décroissante sur $]0, +\infty[$ (resp. sur $]-\infty, 0[)$ à valeurs dans $]1, +\infty[$ (resp. $]-\infty, -1[$). Sa fonction réciproque est notée argcoth.

Pour $|x|>1$, si $y = \text{argcoth}(x)$, alors $x = \coth y = \frac{e^{2y}+1}{e^{2y}-1}$. En isolant $e^{2y}$, on trouve $e^{2y} = \frac{x+1}{x-1}$. D’où l’expression logarithmique : $$ \text{argcoth}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \quad \text{pour } |x| > 1 $$